Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞(3n-1)∙(x+2)n

Ответ

(-3;-1) – область сходимости ряда

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем сначала радиус сходимости степенного ряда по формуле:
R=limn→∞anan+1
an=3n-1, an+1=3n+2
Имеем:
anan+1=3n-13n+2
R=limn→∞anan+1=limn→∞3n-13n+2=1
Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:
x+2<1
-1<x+2<1
-3<x<-1 – интервал сходимости
Исследуем сходимость на концах интервала.
При x=-3 получаем числовой ряд:
n=1∞(3n-1)∙(-3+2)n=n=1∞(3n-1)∙(-1)n - знакопеременный ряд, исследуем его на сходимость по признаку Лейбница.
u1=2; u2=5, u3=8; …, un=3n-1
u1<u2<u3<…<un
limn→∞3n-1 =∞
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда не выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что ряд n=1∞3n-1 ∙(-1)n расходится
x=-1
n=1∞(3n-1)∙-1+2n=n=1∞3n-1
Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то
limn→∞an=0
Имеем an=3n-1
Найдем limn→∞an
limn→∞an=limn→∞3n-1 =∞≠0
Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу