Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости

Интервал сходимости найдём с помощью признака Даламбера:
limn→∞un+1(x)un(x)=limn→∞(x+3)n+1*(n+12+3)3n+1(x+3)n*(n2+3)3n=limn→∞(x+3)n+1*(n+12+3)*3n(x+3)n*(n2+3)*3n+1=limn→∞(x+3)n*(x+3)*(n+12+3)*3n(x+3)n*n2+3*3n*3=limn→∞(x+3)*(n+12+3)n2+3*3=(x+3)3limn→∞(n2+2n+1+3)n2+3=(x+3)3limn→∞(n2+2n+4)n2+3=∞∞=(x+3)3limn→∞(n2+2n+4)n2n2+3n2=(x+3)3limn→∞1+2n→0+4n2→01+3n2→0=(x+3)3
Составляем неравенство:
Ряд сходится при (x+3)3<1 .
Умножаем обе части на 3: (x+3)<3
Раскрываем неравенство с модулем: -3<x+3<3⇒-6<x<0 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость на концах найденного интервала:
При x=-6⇒n=1∞n2+33n-6+3n=n=1∞-3n*(n2+3)3n=n=1∞-1n*3n*(n2+3)3n=n=1∞-1n*(n2+3). Используем признак Лейбница: ряд является знакочередующимся; limn→∞an=limn→∞(n2+3)=+∞≠0 – члены ряда не убывают по модулю, из этого следует его расходимость, поскольку не выполнен необходимый признак сходимости ряда