Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞x-4nn2+n

Ответ

x ϵ[3;5)

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Воспользуемся признаком Деламбера. Вычисли предел:
limn→∞n2+nn+12+nx-4=limn→∞n2+nn2+3n+1∙x-4=
=limn→∞1+1n1+3n+1n2x-4=x-4
Исходный ряд сходится абсолютно, если x-4<1. Решая неравенство, найдем интервал
x-4<1=>3<x<5.
Ясно, что радиус сходимости R=1, а интервал 3;5 является интервалом сходимости заданного ряда . Вне отрезка 3:5 будет x-4>1, поэтому ряд расходится.
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
При х=3 ряд имеет вид
n=1∞-1nn2+n
Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница:
limn→∞an=limn→∞1n2+n=0;
12>15>110….=>an>an+1, то есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.
Таким образом, х = 3 принадлежит области сходимости степенного ряда.
При х=5 ряд имеет вид
n=1∞1n2+n
Сравним этот ряд с расходящимся рядом n=1∞1n , пользуясь предельным признаком сравнения:
lim1n2+nn→∞:1n=limn→∞nn1+1n=limn→∞11+1n=1≠0.
Следовательно, данный ряд расходится в соответствии с предельным признаком сравнения. Граница интервала x=5 не принадлежит области сходимости степенного ряда.
Таким образом, областью сходимости исследуемого степенного ряда является полуинтервал [3; 5).
Ответ: x ϵ[3;5)

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу