Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=3n(x-1)n2n(n+1) un+1=3n+1(x-1)n+12n+1(n+2)=3∙3n(x-1)n(x-1)2∙2n(n+2)
limn→∞ un+1un=limn→∞3∙3n(x-1)n(x-1)2∙2n(n+2)∙2n(n+1)3n(x-1)n=32∙x-1∙limn→∞n+1n+2=
=32∙x-1
Ряд сходится при
32∙x-1<1 x-1<23 13<x<53
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=13
n=1∞3n(x-1)n2n(n+1)=n=1∞(-1)n(n+1)
Получили знакочередующийся ряд . Члены данного ряда по модулю монотонно убывают и стремятся к нулю. Поэтому по признаку Лейбница ряд сходится
Исследуем на сходимость ряд, составленный их модулей исходного ряда:
n=1∞an=n=1∞1(n+1)
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
an=1(n+1) bn=1n
limn→∞anbn=limn→∞nn+1=1
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому ряд, составленный из модулей исходного ряда расходится, а исходный ряд сходится условно.
x=53
n=1∞3n(x-1)n2n(n+1)=n=1∞1(n+1)
Данный ряд расходится по доказанному ранее.
Область сходимости исследуемого степенного ряда:
13≤x<53
При x=13 ряд сходится условно
Ответ:
13≤x<53
При x=13 ряд сходится условно