Найти интервал сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда

Найти интервал сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на границах интервала: n=1∞xnsin21n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

An=xnsin21n
an+1=xn+1sin21n+1
Находим:
limn→∞an+1an=limn→∞xn+1sin21n+1xnsin21n=limn→∞xn*xsin21n+1xnsin21n=limn→∞xsin21n+1sin21n=xlimn→∞sin21n+1sin21n=x*1
Значит область сходимости
x<1
-1<x<1
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=1; n=1∞sin21n
sin21n~1n2
Данный ряд сходится, следовательно, и исходный ряд тоже сходится.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-1; n=1∞-1nsin21n
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1nsin21n=-sin21+sin212-sin213+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞sin21n=0
Члены ряда убывают по модулю, при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞sin21n
sin21n~1n2
Данный ряд сходится, следовательно, и исходный ряд тоже сходится.
Значит, границы не включаются в область сходимости
-1≤x≤1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу