Найти частные решения удовлетворяющие начальным условиям

1) Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение будет иметь вид:
y=y+y*
y - общее решение однородного уравнения
y*- частное решение неоднородного уравнения
Решим однородное уравнение:
3y''-9y'-12y=0
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
3k2-9k-12=0 k2-3k-4=0
D=9+16=25
k1=3-52=-1 k1=3+52=4
Корни характеристического уравнения действительные, различные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=C1e-x+C2e4x
Исходя из вида правой части исходного уравнения, выберем y*:
y*=Ae-3x
(y*)'=-3Ae-3x (y*)''=9Ae-3x
Подставляем найденные значения в левую часть исходного уравнения:
27Ae-3x+27Ae-3x-12Ae-3x=14e-3x
42Ae-3x=14e-3x => A=13
y*=13e-3x
y=y+y*=C1e-x+C2e4x+13e-3x
Для нахождения частного решения найдем производную:
y'=-C1e-x+4C2e4x-e-3x
Подставляя начальные условия при x=0, получим систему уравнений для определения постоянных: C1, C2
C1+C2+13=-1-C1+4C2-1=-1
Сложим оба уравнения:
C1=-43-C25C2=-43 C1=-1615C2=-415
y=y+y*=-1615e-x-415e4x+13e-3x
2) Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение будет иметь вид:
y=y+y*
y - общее решение однородного уравнения
y*- частное решение неоднородного уравнения
Решим однородное уравнение:
-5y''+40y'-75y=0
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
-5k2+40k-75=0
k2-8k+15=0
D=64-60=4
k1=8-22=3 k2=8+22=5
Корни характеристического уравнения действительны и различны, поэтому общее решение дифференциального уравнения запишем в виде:
y=C1e3x+C2e5x
Исходя из вида правой части исходного уравнения, выберем y*:
y*=Ax2+Bx+C
(y*)'=2Ax+B (y*)''=2A
Подставляем найденные значения в левую часть исходного уравнения:
-10A+80Ax+40B-75Ax2-75Bx-75C=-20x2+35
-75Ax2+x80A-75B-10A+40B-75C=-20x2+35
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x
-75A=-2080A-75B=0-10A+40B-75C=35 A=415B=64225C=-11833375
y*=Ax2+Bx+C=415x2+64225x-11833375
y=y+y*=C1e3x+C2e5x+415x2+64225x-11833375
Для нахождения частного решения найдем производную:
y'=3C1e3x+5C2e5x+815x+64225
Подставляя начальные условия при x=0, получим систему уравнений для определения постоянных: C1, C2
C1+C2-11833375=-13C1+5C2+64225=-1
Вычтем из первого уравнения второе:
C1=-1+11833375-C2-3-3C2+35493375+5C2+64225=-1 C1=-1+11833375-C22C2=83125
C1=-5354C2=83250
y=-5354e3x+83250e5x+415x2+64225x-11833375