Найти частное решение дифференциального уравнения y´´-5y´+6y=x2-x

Запишем соответствующее однородное уравнение y´´-5y´+6y=0, характеристическое уравнение имеет вид k2-5k+6=0, его корни k1=2,k2=3.
yo.o=C1e2x+C2e3x.
Так как правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени, то частное решение будем искать в виде yч.н=Ax2+Bx+C, y´ч.н=2Ax+B, y´ч.н=2A.
Подставим выражения для yч.н, y´ч.н, y´´ч.н в исходное уравнение:
2A-5∙2Ax+B+6Ax2+Bx+C=x2-x,
2A-10Ax-5B+6Ax2+6Bx+6C=x2-x,
6Ax2+6B-10Ax+6C-5B+2A=x2-x.
Приравниваем коэффициенты левой и правой частей и находим A, B и C:
6A=1,6B-10A=-1,6C-5B+2A=0;A=16,6B-106=-1,6C-5B+13=0;A=16,B=19,C=112.
Отсюда, yч.н=16x2+19x+112 и yо.н=yо.о+yч.н, yо.н=С1e2x+C2e3x+16x2+19x+112, где С1 и С2 - некоторые постоянные.
Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y0= 0, y´0=19.
y0= C1e2∙0+C2e3∙0+16∙0+19∙0+112=C1+C2+112=0
y´x=2С1e2x+3C2e3x+13x+19, y´0=2С1e2∙0+3C2e3∙0+13∙0+19=2C1+3C2+19=19
Получаем систему линейных уравнений относительно переменных C1 и С2:
C1+C2=-112,2C1+3C2=0; ∙12∙(-4) +12C1+12C2=-1,-8C1-12C2=0