Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Сначала составим характеристическое уравнение и решим соответствующее однородное уравнение:
k2+2k+5=0
D=4-4*1*5=4-20=-16
k1=-2-4i2=-1-2i
k2=-2+4i2=-1+2i
Общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-xsin2x+C2e-xcos2x
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в следующем виде:
y=Ax2+Bx+C
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=2Ax+B
y''=2A
Подставим в исходное уравнение:
2A+2*2Ax+B+5*Ax2+Bx+C=5x2+9x+9
2A+4Ax+2B+5Ax2+5Bx+5C=5x2+9x+9
Тогда получаем систему уравнений:
5A=54A+5B=92A+2B+5C=9
Решаем данную систему:
5A=54A+5B=92A+2B+5C=9→A=14+5B=92+2B+5C=9→A=15B=9-4=52B+5C=9-2=7→A=1B=1C=1
Тогда искомое частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Ax2+Bx+C=x2+x+1
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-xsin2x+C2e-xcos2x+x2+x+1-общее решение
Чтобы найти искомое частное решение, удовлетворяющее заданным условиям, сначала найдём производную от полученного общего решения, получим:
y'=-C1e-xsin2x+2C1e-xcos2x-C2e-xcos2x-2C2e-xsin2x+2x+1
Тогда сначала воспользуемся первым начальным условием:
y0=C2+1=1
C2=1-1=0
Теперь вторым начальным условием:
y'0=2C1-2C2+1=1
2C1-2C2=0
Получаем систему уравнений:
C2=02C1-2C2=0→C2=0C1=0
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=x2+x+1