Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''-4y'+5y=0
Составим характеристическое уравнение:
k2-4k+5=0
D=16-20=-4
k1,2=4±-42=4±4i22=2±i
Так как корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, то общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=e2xC1cosx+C2sinx
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть уравнения является функцией специального вида, с характеристическим числом k=0, не совпадающим с корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=Ax2+Bx+C
y'=2Ax+B
y''=2A
Подставим данные значения в исходное уравнение:
2A-42Ax+B+5Ax2+Bx+C=5x2-4
5Ax2+x-8A+5B+2A-4B+5C=5x2-4
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x левой и правой части:
5A=5-8A+5B=02A-4B+5C=-4
A=15B=8-4B+5C=-6
A=1B=855C=25
A=1B=85C=225
y=x2+85x+225
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=e2xC1cosx+C2sinx+x2+85x+225
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=0 => 0=C1+225 => C1=-225
y'=2e2xC1cosx+C2sinx+e2x-C1sinx+C2cosx+2x+85
y'0=3 => 3=2C1+C2+85
C1=-2252C1+C2+85=3 C1=-225C2=3925
Частное решение уравнения:
y=e2x-225cosx+3925sinx+x2+85x+225