Найти частное решение дифференциального уравнения

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+2k+5=0
D=4-4*1*5=4-20=-16
k1=-2-4i2=-1-2i
k2=-2+4i2=-1+2i
Так как получены сопряжённые комплексные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-xsin2x+C2e-xcos2x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=x*Ae-xcos2x+Be-xsin2x
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=Ae-xcos2x+Be-xsin2x+x*-Ae-xcos2x-2Ae-xsin2x-Be-xsin2x+2Be-xcos2x
y''=-Ae-xcos2x-2Ae-xsin2x-Be-xsin2x+2Be-xsin2x-Ae-xcos2x-2Ae-xsin2x-Be-xsin2x+2Be-xsin2x+x*Ae-xcos2x+2Ae-xsin2x+2Ae-xsin2x-4Ae-xcos2x+Be-xsin2x-2Be-xcos2x-2Be-xcos2x-4Be-xsin2x=x*4Ae-xsin2x-3Ae-xcos2x-3Be-xsin2x-4Be-xcos2x-4Ae-xsin2x-2Ae-xcos2x-2Be-xsin2x+4Be-xcos2x
Подставляем в уравнение данные выражения:
x*4Ae-xsin2x-3Ae-xcos2x-3Be-xsin2x-4Be-xcos2x-4Ae-xsin2x-2Ae-xcos2x-2Be-xsin2x+4Be-xcos2x+2Ae-xcos2x+2Be-xsin2x+2x*-Ae-xcos2x-2Ae-xsin2x-Be-xsin2x+2Be-xcos2x+5xAe-xcos2x+Be-xsin2x=-8e-xsin2x
Приведём подобные слагаемые и найдём, что:
A=2;B=0
Тогда частное решение выглядит так:
y=2xe-xcos2x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-xsin2x+C2e-xcos2x+2xe-xcos2x
Далее найдём первую производную от полученного общего решения и воспользуемся начальными условиями:
y'=-C1e-xsin2x+2C1e-xcos2x-C2e-xcos2x-2C2e-xsin2x+e-x*-4xsin2x-2x-1cos2x
y0=C2=2
y'0=2C1-C2+2=6
Получили систему уравнений:
2C1-C2=4C2=2→C1=3C2=2
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=3e-xsin2x+2e-xcos2x+2xe-xcos2x