Найдите работу, совершённую 1 молем идеального одноатомного газа при изотермическом расширении в цикле 1–2–3, если КПД цикла η = 20%, T2 = 2T1

КПД цикла равен отношению
η=AQ,
где A – работа, совершенная за цикл;
Q – всё подведённое за цикл тепло.
Участок цикла 1–3 представляет собой изохорный процесс, а значит работа при этом не совершается. Участок 2–3 представляет изотермический процесс; при этом совершается искомая работа A23. На изобарном участке 3–1 работа совершается над газом. Поэтому можно записать:
A=A23-A31;
A=A23-p1V3-V1.
Рассмотрим изобарный процесс 3–1. Для него справедливо соотношение
V3V1=T3T1,
откуда с учетом того, что T3 = T2 = 2T1:
V3=V1T3T1;
V3=V1T2T1=2V1.
Тогда совершенная за цикл работа равна
A=A23-p12V1-V1;
A=A23-p1V1.
Из уравнения Менделеева–Клапейрона для 1-й точки цикла:
p1V1=νRT1.
Тогда
A=A23-νRT1.
На участках 1–2 (изохорное нагревание) и 2–3 (изотермическое расширение) тепло подводится к циклу; на участке 2–3 (изобарное сжатие) тепло от цикла отводится . Тогда значение подведенной теплоты равно
Q=Q12+Q23.
При изохорном процессе
Q12=ΔU12=i2νRT2-T1.
С учетом того, что T2 = 2T1:
Q12=i2νR2T1-T1=i2νRT1.
При изотермическом процессе
Q23=A23=i2νRT2lnV3V2,
или с учетом того, то T2 = 2T1:
Q23=A23=2i2νRT1lnV3V2.
Для изотермического процесса 2–3 можем записать:
p2V2=p3V3,
откуда с учетом того, что p3=p1:
V3V2=p2p1.
Для изохорного процесса 1–2 можем записать:
p2p1=T2T1,
откуда с учетом того, что T2 = 2T1:
p2p1=2T1T1=2.
Тогда
V3V2=2;
Q23=A23=2i2νRT1ln2.
Тогда значение подведенной теплоты равно
Q=i2νRT1+2i2νRT1ln2;
Q=i2νRT11+2ln2.
Так как по условию газ одноатомный, то число степеней свободы его молекул равно i = 3.
Подставим полученные выражения в формулу для определения КПД и выразим искомую работу при изотермическом процессе:
η=A23-νRT132νRT11+2ln2;
A23=32η1+2ln2+1RT1;
A23=32∙0,2∙1+2ln2+1∙8,31∙T1=14,26T1 Дж.
Ответ: A23=14,26T1 Дж.