Найдите общее решение ЛДУ с правой частью специального вида: 2y''+y'-y=(-20x2-6x+69)e3x

Составим характеристическое уравнение
2k2+k-1=0⟹k1=-1, k2=12
y=y0+yН
Запишем общее решение однородного уравнения:
y0=C1e-x+C2ex2
Определим вид решения неоднородного уравнения
yН=xsAx2+Bx+Ce3x
s=0, поскольку по правой части α±βi=3≠k1,2
yН=Ax2+Bx+Ce3x
y'Н=2Ax+Be3x+3Ax2+Bx+Ce3x;
y''Н=2Ae3x+32Ax+Be3x+32Ax+Be3x+9Ax2+Bx+Ce3x;
Подставим в исходное уравнение и сократим на e3x:
4Ae3x+62Ax+Be3x+18Ax2+Bx+Ce3x+2Ax+Be3x+
+3Ax2+Bx+Ce3x-Ax2+Bx+Ce3x=(-20x2-6x+69)e3x
20Ax2+26A+20Bx+4A+13B+20C=-20x2-6x+69
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
20A=-2026A+20B=-64A+13B+20C=69⟹A=-1, B=1;C=3
yН=-x2+x+3e3x
Общий вид частного решения:
y=C1e-x+C2ex2+-x2+x+3e3x.