Найдите область сходимости степенного ряда

An=xnn3*4n+1
an+1=xn+1n+13*4n+2
Находим R:
limn→∞an+1an=limn→∞xn+1n+13*4n+2xnn3*4n+1=limn→∞xn+1*n3*4n+1n+13*4n+2*xn=limn→∞xn*x*n3*4n*4n+13*4n*16*xn=limn→∞x*n3n+13*4=x*limn→∞n3n+13*4=x*14
Значит область сходимости
x*14<1
-4<x<4
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=4; n=1∞4nn3*4n+1=n=1∞14n3
Используем первый признак сравнения . Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n3, который сходится
limn→∞anbn=limn→∞14n31n3=limn→∞n34n3=14
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  n=1∞1n3.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-4; n=1∞-4nn3*4n+1=n=1∞-1n4n3
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1n4n3=-14+132-1108+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞14n3=0
члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞14n3Используем первый признак сравнения