Найдите область определения функции нарисуйте его
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его,
охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,
, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды
непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
, ,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго
порядка неявной функции
,
,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,
образует угол с осью , ,
- внешняя нормаль к окружности
в точке М
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
множестве
,
,
,
,
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Условия Область определения, в которой действительно это неравенство (в красном)
Y≤ 1
Y≥ - 1
πх ≠ πk + π2
1 - tg ( πх ) ≥ 0
Область определения (обозначено красным цветом)
Построим линии уровня:
Z=1; z= 1/2; z=1/3;
Учитываем, что х и у положительны и лежат внутри окружности х^2+y^2=1.
Дифференциал первого порядка:
dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy;
∂z∂x=x4-1y2+x-lny2+x*4x32x4-1x4-1=x4-1-2x3*y2+x*ln(y2+x)x4-1*y2+x*x4-1;
∂z∂y=2yx4-1y2+x-lny2+x*0x4-1=2yx4-1x4-1*y2+x;
dz=x4-1-2x3*y2+x*ln(y2+x)x4-1*y2+x*x4-1dx+2yx4-1x4-1*y2+xdy.
Дифференциал второго порядка:
d2z=∂2z∂x2dx2+2∂2z∂x∂ydxdy+∂2z∂y2dy2;
∂2z∂x2=(4x3-6x2*y2+x*lny2+x-2x3*lny2+x-2x3)*x4-13*y2+x2
*x4-132*y2+x-x4-1-2x3*y2+x*lny2+x*1
*(32x4-112*4x3y2+x+x4-1321;
∂2z∂x2=2x2(x-3*y2+x*lny2+x-x*lny2+x)*x4-13*y2+x2
*x4-132*y2+x-x4-1-2x3*y2+x*lny2+x*1
*(32x4-112*4x3y2+x+x4-1321;
∂2z∂y2=2x4-1*x4-1*y2+x-4y2x4-12x4-12*y2+x2;
∂2z∂x∂y=2y(1-3x4-2x3y2)x4-132*y2+x2;
d2z=2x2(x-3*y2+x*lny2+x-x*lny2+x)*x4-13*y2+x2
*x4-132*y2+x-x4-1-2x3*y2+x*lny2+x*1
*(32x4-112*4x3y2+x+x4-1321dx2+
4y1-3x4-2x3y2x4-132*y2+x2dxdy+
2x4-1*x4-1*y2+x-4y2x4-12x4-12*y2+x2dy2.
∂f∂s=∂f∂x*∂x∂s+∂f∂y*∂y∂s; ∂f∂s=∂f∂x*3+∂f∂y*-ts2;∂2f∂s2=-∂2f∂y2*1s2;
∂f∂t=∂f∂x*∂x∂t+∂f∂y*∂y∂t; ∂f∂t=∂f∂x*1+∂f∂y*1s;∂2f∂t2=0;
∂2f∂s∂t=-∂f∂y*1s2.
∂z∂x=-Fx'x;y;zFz'x;y;z; ∂z∂y=-Fy'x;y;zFz'x;y;z;Fz'x;y;z≠0;
Fz'x;y;z=5xz4-4y4;Fz'M=1≠0;
Fx'x;y;z=z5-9x2y;Fz'M=10;
Fy'x;y;z=-3x3-16zy3;Fy'M=13;
∂z∂xM=-10;∂z∂yM=-13;
∂2z∂x2=-z5-9x2y5xz4-4y4'=18xy5xz4-4y4+z5-9x2y*5z45xz4-4y42;
∂2z∂x2(M)=-18+501=32;
∂2z∂y2=--3x3-16zy35xz4-4y4'=48zy25xz4-4y4--3x3-16zy3*16y35xz4-4y42;
∂2z∂y2(M)=48+2081=256;
∂2z∂x∂y=-z5-9x2y5xz4-4y4'=9x25xz4-4y4-z5-9x2y*16y35xz4-4y42;
∂2z∂x∂y(M)=9+1601=169.
∂f∂lM=∂f∂xM*cosα+∂f∂yM*cosβ;cos2α+cos2β=1;cos135°=-22;cosβ=22;
∂f∂x=12x3+y;∂f∂xM=14;
∂f∂y=3y2+x;∂f∂xM=13;
∂f∂lM=14*-22+13*22=-22.
Необходимое условие экстремума:
∂u∂x=0;∂u∂y=0;∂u∂z=0;3y+5z-18x=0;3x-8z-12y=0;5x-8y-22z=0; M0;0;0;
Для достаточного условия составим матрицу Гессе:
H=uxx''uxy''uxz''uyx''uyy''uyz''uzx''uzy''uzz'';H=-18353-12-85-8-22;
δ1M=-18;δ2M=-1833-12=207;
δ3M=-18353-12-85-8-22=-18*200+3*26+5*36=-3342;
В этом случае функция в этой точке достигает максимума u = 0.
Необходимое условие экстремума:
∂u∂x=0;∂u∂y=0;2x-4=0;2y=0; M2;0;
Точка М принадлежит области с точками A(-2;-1); B(-2;3); C(1;3); D(1;-1).
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции:
uM=-4-m;
uA=13;
uB=21-M;
uC=6;
uD=-2.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
