Найдите интервал сходимости степенных рядов

An=xnn+122n
an+1=xn+1n+222n+1
Находим интервал сходимости:
limn→∞an+1an=limn→∞xn+1n+222n+1xnn+122n=limn→∞xn+1n+22*2nxnn+12*2n+1=limn→∞xn*x*n+22*2nxnn+12*2n*2=limn→∞x*n+22n+12*2=x*limn→∞n+22n+12*2=x*limn→∞n2+4n+42n2+4n+2=x*limn→∞n2n2+4nn2+4n22n2n2+4nn2+2n2=x*limn→∞1+4n+4n22+4n+2n2=x*12
Значит область сходимости
x*12<1
x<2
-2<x<2
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=2; n=1∞2nn+122n=n=1∞n+12
Проверим необходимый признак сходимости:
limn→∞n+12=∞≠0
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-2; n=1∞-2nn+122n=n=1∞-1nn+12
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1nn+12=-4+9-16+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞n+12=∞≠0
Члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: Ряд расходится.
Значит, границы не включаются в область сходимости
-2<x<2