Наэлектризованный шар радиусом r имеет объемную плотность заряда ρ

Согласно теореме Остроградского – Гаусса, поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности делённой на ε∙ε0
(1)
ε0 – электрическая постоянная, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды.
В силу симметрии напряжённость в любой точке направлена от центра (заряд положительный) и перпендикулярна к любой выделенной концентрической сферической поверхности радиусом r.
Поэтому поток через такую поверхность равен , а заряд внутри
этой поверхности зависит от её радиуса.
1 . Внутри шара

Составляем уравнение, выражающее теорему:
(2)
За пределами поверхности шара (r >R) в гауссовскую поверхность попадает весь заряд шара, ɛ = 1 (воздух) и получаем
(3)
Как известно из электростатики для сферически симметричного поля

Полагая на бесконечности , получим потенциал для
(5)
Потенциал поверхности шара

Далее продолжаем интегрирование внутри шара, используя (2) (6)
Обозначим полный заряд шара QШ и запишем согласно закону Кулона силу взаимодействия с зарядом Q, расположенном на расстоянии d от его поверхности

Вычислим объёмную плотность заряда шара ρ, считая заряд равномерно распределённым по объёму
Кл/м3
проверка размерности
Теперь, используя это значение ρ, запишем функции напряжённости E(R) (В/м) и потенциала φ(R) (В), определённые выше (с числовыми коэффициентами для построения графиков)
Таблица некоторых значений
R, м 0 0,12 0,16 0,2
E, кВ/м 0 180 100 65
R, м 0 0,04 0,08 0,12 0,6 0,2
φ, кВ 32,6 31,4 27,8 21,7 16,3 13,0
Ответ: плотность заряда шара ρ = 4,01∙10-5 Кл/м3, графики представлены выше.