На вход линейной динамической системы описываемой дифференциальным уравнением

Находим передаточную функцию системы:
Hλ=4λ+13λ+1
Подставляя λ=jω, найдём амплитудно-частотную характеристику системы
Kjω=4jω+13jω+1=4jω+11-3jω9ω2+1=12ω2+1+ωj9ω2+1
Kjω2=12ω2+12+ω29ω2+12=144ω2+999ω2+1=16ω2+19ω2+1=169-79∙19ω2+1
Спектральная плотность для заданной ковариационной функции равна:
Sxω=2π0∞5e-5τcosωτdτ=10π∙5ω2+25
Найдём спектральную плотность на выходе системы:
Syω=Kjω2∙Sxω
Syω=50πω2+25∙16ω2+19ω2+1
Найдём дисперсию случайного процесса на выходе системы в установившемся режиме:
Dy=12-∞∞Syωdω
Dy=12-∞∞50πω2+25∙16ω2+19ω2+1dω=25πlimM→∞0M1ω2+25∙16ω2+19ω2+1dω
16ω2+1ω2+259ω2+1=Aω+Bω2+25+Cω+D9ω2+1
Aω+B9ω2+1+Cω+Dω2+25=16ω2+1
Отсюда получаем
ω3ω2ωω09A+C=09B+D=16A+25C=0B+25D=1⟹B=5732, D=-132, A=C=0
Dy=25πlimM→∞0M57/32ω2+25-1/329ω2+1dω
2532π57ω2+25-1/9ω2+1/9dω=2532π575arctgω 5-13arctg3ω
Dy=2532πlimM→∞575arctgM 5-13arctg3M=2532π575∙π2-13∙π2=
=2564575-13=41548=83148.