На основе динамической информации табл.1 необходимо выполнить следующее задание

1. Временной ряд динамики зарегистрированных разбоев в одном из регионов Российской Федерации является интервальным рядом абсолютных величин, поскольку отражает ежегодное число зарегистрированных разбоев в абсолютных величинах – миллионов. Данный ряд динамики является равноотстоящими, так как отражает следующих друг за другом периоды времени – годы. По предметной области данный ряд динамики можно отнести к социальному ряду динамики.
2. Рассчитаем и проанализируем средние показатели динамики, используя следующие формулы:
Средний уровень исходного ряда динамики:
y=yin,
где yi – значение показателя в i-ый период времени;
n – количество периодов.
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
y=16,5+18,5+20,4+24,2+27,9+27,7+34,6+34,5+41,59=27,31
Среднее значение количества зарегистрированных разбоев с 1999 по 2007 год составило 27,31 млн.
Средний абсолютный прирост:
∆y=yn-y1n-1,
где yn – значение показателя в последний временной период;
y1 – значение показателя в первый временной период.
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
∆y=41,5-16,59-1=3,13 млн.
С каждым годом количество зарегистрированных разбоев увеличивалось на 3,13 млн.
Средний темп роста:
Тр=n-1yny1
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Тр=9-141,516,5=1,122
В среднем за весь период рост количества зарегистрированных разбоев составил 1,122.
Средний темп прироста:
Тпр=Тр-1
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Тпр=1,12-1=0,122
В среднем количество зарегистрированных разбоев ежегодно увеличивалось на 12,2%.
3. На основе анализа полученных в п.2 показателей, можно заключить, что основная тенденции развития в исследуемом временном ряду носит возрастающий характер – с каждым годом количество зарегистрированных разбоев увеличивалось на 3,13 млн. Можно предположить, что форма тренда носит линейный характер.
4. Определим наличие основной тенденции развития в исследуемом временном ряду на основе метода кумулятивного Т-критерия.
Выдвигаем основную гипотеза (Н0:) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду. Расчетное значение критерия определяется по формуле:
Тр=Zn2σy2,
где Zn — накопленный итог отклонений эмпирических значений уровней исходного ряда динамики от среднего его уровня;
Zn=(yt-yt) – накопленные суммы отклонений от тренда;
σ2у — общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле:
σy2=yt2-(y)2*n,
где yt — исходные значения признака;
y - средний уровень исходного ряда динамики;
n — длина временного ряда (число уровней).
Для удобства все расчеты произведем с помощью Excel, результаты расчетов представим в таблице 2.
Таблица 2
Расчетная таблица
t yt
yt2 yt-yt
Zn Zn2
1999 16,5 272,25 -10,8 -10,8 116,64
2000 18,5 342,25 -8,8 -19,6 384,16
2001 20,4 416,16 -6,9 -26,5 702,25
2002 24,2 585,64 -3,1 -29,6 876,16
2003 27,9 778,41 0,6 -29 841
2004 27,7 767,29 0,4 -28,6 817,96
2005 34,6 1197,16 7,3 -21,3 453,69
2006 34,5 1190,25 7,2 -14,1 198,81
2007 41,5 1722,25 14,2 0,1 0,01
ИТОГО 245,8 7271,66 - -179,4 4390,68
Расчетное значение критерия определяется по формуле:
Тр=4390,687271,66-(27,3)2*9=4390,68558,59=7,86
Расчетные значения кумулятивного Т-критерия и tp сравниваются с критическими при заданном уровне значимости α=0,05 .
Ткр=2,26 (находим по таблице Стьюдента при n=9).
Поскольку Tp > Ткр (7,86>2,26), то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно, в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом.
5. Определим вид тенденции (средней и дисперсии) в исследуемом ряду динамики методом сравнения средних уровней.
Разобьем исходный ряд динамики на 2 равные части:
– в первую войдут значения показателя с 1999 по 2003 гг.,
– во вторую – с 2004 по 2007 гг.
Рассчитаем выборочные характеристики:
n1=5; n2=4.
Средние значения рядов:
y1=16,5+18,5+20,4+24,2+27,95=21,5
y2=27,7+34,6+34,5+41,54=34,58
Средние дисперсии:
s12=y12 - y12=478,94-462,25=16,69
s22=y22 - y22=1219,24-1195,43=23,81
Если во временном ряду существует тенденция средней, то средние, вычисленные для двух совокупностей, должны значимо различаться между собой.
Выдвигаем гипотезу: Н0 : y1 =y2 , проверяем ее на основе t-критерия Стьюдента по формуле:
tр=34,58-21,5(5-1)16,69+(4-1)23,81*5*5(5+4-2)5+4=4,905
tкр (α=0,05, u=n-2=7)=2,365
tр > tкр (4,905>2,365)
σ12<σ22
Следовательно гипотеза о равенстве средних двух совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, средние существенно различаются между собой, в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция средней и, следовательно, во временном ряду существует тренд.
6. Произведем сглаживание ряда динамики по трехуровневой скользящей средней по формуле:
y=yi-1+yi+yi+13,
где yi-1 – значение показателя в предшествующем периоде;
yi – значение показателя в текущем периоде;
yi+1 – значение показателя в следующем периоде.
Все расчета произведем с помощью Excel, результаты сглаживания представим в таблице 3.
Таблица 3
Сглаживание ряда динамики по трехуровневой скользящей средней
Год Число зарегистрированных разбоев, млн. Трехуровневая скользящая средняя
1999 16,5 -
2000 18,5 18,47
2001 20,4 21,03
2002 24,2 24,17
2003 27,9 26,6
2004 27,7 30,07
2005 34,6 32,27
2006 34,5 36,87
2007 41,5 -
7. Определим аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого временного ряда по линейной функции, а также определим параметры выбранной функции на основе метода наименьших квадратов.
Линейное уравнение тренда имеет вид: y = bt + a
Найдем параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК имеет вид:
an + b∑t = ∑ya∑t + b∑t2 = ∑y*t
Составим расчетную таблицу 4, все расчеты произведем с помощью Excel.
Таблица 4
Расчетная таблица параметров линейного уравнения тренда
t y t2 y2 t y
1 16,5 1 272,25 16,5
2 18,5 4 342,25 37
3 20,4 9 416,16 61,2
4 24,2 16 585,64 96,8
5 27,9 25 778,41 139,5
6 27,7 36 767,29 166,2
7 34,6 49 1197,16 242,2
8 34,5 64 1190,25 276
9 41,5 81 1722,25 373,5
∑45 245,8 285 7271,66 1408,9
Среднее значение 27,31 31,67 807,96 156,54
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 45b = 245,845a + 285b = 1408,9
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 12,319; b = 2,998
Уравнение тренда принимает вид:
y = 2,998 t + 12,319
По полученному уравнению линейного тренда можно заключить, что при увеличении t на 1 год, количество зарегистрированных разбоев (y) увеличивается в среднем на 2,998 млн.
8