Доходы семьи
1,6 1,7 2 2,4 2,8 3,1 3,5 4,1 4,8 5
Расходы на питание 0,56 0,66 1,2 1,5 1,8 1,9 2.1 2,5 2,8 3,3
На основании данных таблицы для соответствующего варианта:
Построить линейную регрессию.
Выполнить эконометричекий анализ полученной модели.
Решение
Обозначим «расходы на питание» как результативный признак через У, «душевой доход» будет факторным признаком, обозначенным как Х.
1) Рассмотрим однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание У от величины дохода семьи Х.
у = a + bx – уравнение линейной регрессии
Используя статистические данные исходной таблицы данных, параметры a и b линейной регрессии определяются методом наименьших квадратов:
Ia,b= i=110yi-a-bxi→min
dyda=0dydb=0na+bi=1nxi=i=1nyian=1nxi+bn=1nxi2=i=1nxiyi10a+bi=110xi=i=110yian=110xi+bn=110xi2=i=110xiyi10a+31b=18,3231a+109,76b=66,488
Решив эту систему при помощи MSExcel + надстройки SOLVER получаем, что a =-0.368410183016114, b = 0.709809736456811
y = -0.368410183016114+ 0.709809736456811x.
Проведем эконометрический анализ полученной модели. Для начала рассчитаем средние величины:
x=1ni=1nxi=110i=110xi=3,1
y=1ni=1nyi=110i=110yi=1,832
Вычислим дисперсии оценок параметров a и b:
δ2=1n-2i=1n(yi-y)2=18i=110(yi-y)2=0,2346468=0,029331
δа2=δ2*x2i=110(xi-x)2=0,029331*109,7613,66*10=0,023568
δb2=δ2i=110(xi-x)2=0,02933113,66=0,0002147
2) Следующий этап – оценка значимости коэффициентов полученной модели. На этом этапе проверяется статистическая гипотеза о равенстве нулю коэффициентов модели aи b при заданном уровне значимости α=0,05
.
Проверяем гипотезу Нb: b=0 противb≠0
Для проверки используем критерий согласия Стьюдента. Для этого рассчитаем значение t-статистики этого критерия:
tb=bδb2=0,7098097360,0002147=15,31814;
Для поиска табличного значения в Exсel для критерия Стьюдента используется статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР в надстройке SOLVER.Соответствующая степень свободы f=n-2=8, где n-объем выборки. По таблице для критерия согласия Стьюдента при α=0,05 соответствующий квантиль t0,05 = 2,31.
Т.к 15,32 > 2,31, то делаем вывод о значимости коэффициента b в модели.
Аналогично проводим проверку значимости коэффициента a в модели, равное -0.368410183016114 по критерию согласия Стьюдента при том же уровне значимости α=0,05. Соответствующий α-квантиль распределения Стьюдента t0,05 = 2,31 остается в силе.
Проверяем гипотезу На: а=0 протива≠0
ta=aδa2=-0.3684101830161140,023568=-2,39979
Расчетное значение статистики |tа| = 2,4 > t = 2,31, что свидетельствует о том, что коэффициент a в модели значим.
3) Для оценки тесноты связи с исходными данными вычислим коэффициент детерминации по формуле:
D=1-i=1n(yi-y)2i=110(yi-y)2, где
y=110i=110yi=18,3210=1,832, значит i=1n(yi-y)2=7,11696
y=-0.368410183016114+ 0.709809736456811xi
i=1n(yi-y)2=0,234646
D=1-0,234646 7,11696=1-0,03297=0,96703
Коэффициент детерминации показывает долю изменения результативного признака под действием факторного признака
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
