На мыльную пленку (n=1 3) находящуюся в воздухе

Разность хода между лучами, отраженными от верхней и нижней поверхности пленки как видно из рисунка:
Δ=AB+BC⋅n-AD+λ2, (1)
где
AB=BC=dcosβ
Исходя из геометрии рисунка, согласно подобию треугольников, получим
AD=ACsinα=2dtgβsinα
λ2 ― дополнительная разность хода, возникающая при отражении луча 1 от оптически более плотной среды
Соотнесем все полученные выражения, и исходя из геометрии рисунка, запишем разность хода, согласно уравнению (1)
Δ=2d⋅ncosβ-tgβsinα+λ2=2dcosβ⋅n-sinβsinα+λ2==2dcosβ⋅n-nsin2β+λ2=2dncosβ⋅cos2β+λ2==2dn⋅cosβ+λ2=2dn2-n2sin2β+λ2=2dn2-sin2α+λ2.
Условие максимумов интенсивности при интерференции лучей 1 и 2 имеет вид:
Δ=2kλ2,
поэтому
Δ=2dn2-sin2α+λ2=2kλ2
2dn2-sin2α=(2k-1)λ2
d=(2k-1)⋅λ4n2-sin2α.
Минимальная толщина пленки соответствует значению k = 1,