На масложиркомбинате открывается новый цех по производству майонеза площадью 246м2. Работа цеха планируется двухсменной (по 8 часов) с количеством обслуживающего персонала – не более 22 человек. Максимально допустимое количество электроэнергии в сутки составляет 1248 кВт. Требуется установить оборудование в цехе. Поставщики предложили три вида производственных линий с различными техническими характеристиками, представленными в таблице 3.18.
В настоящее время принят следующий план закупки оборудования: линия №2 – 3 ед. оборудования, линия №3 - 1 ед.
Определите:
а) план закупки оборудования, при котором общая производительность цеха будет максимальной;
б) размер упущенной выгоды за сутки.
Таблица 3.18
Показатель Номер линий по производству майонеза
1 2 3
Производительность, л/смену 1500 2200 2800
Занимаемая площадь, м2
42 54 60
Кол-во обслуживающего персонала, чел. 2 2 3
Потребление электроэнергии, кВт/ч
12 18 24
Ответ
а) F(X) = 11200 л/смену, при x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4
б) 1800 л/смену.
Решение
Идентификация переменных:
Введем обозначения для номера линий по производству майонеза
х1 – первая линия по производству майонеза
х2 – вторая линия по производству майонеза
х3 – третья линия по производству майонеза
Составление системы ограничений
По смыслу задачи переменные могут принимать только неотрицательные значения, отсюда получим прямые ограничения: х1≥0, х2≥0, х3≥0.
Следовательно, система ограничений имеет вид:
42x1+54x2+60x3≤2462x1+2x2+3x3≤2212x1+18x2+24x3≤1248
Составление целевой функции
Целевая функция, определяющая доход от реализации продукции, будет иметь вид
F(X) = 1500x1+2200x2+2800x3 . В данной задаче требуется максимизировать функцию F(X).
Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:
F(X) = 1500x1+2200x2+2800x3 →max,
42x1+54x2+60x3≤2462x1+2x2+3x3≤2212x1+18x2+24x3≤1248
х1≥0, х2≥0, х3≥0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).В 1-м неравенстве вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве вводим базисную переменную x6.
F(X) = 1500x1+2200x2+2800x3 +0* x4+0* x5+0*x6 →max,
42x1+54x2+60x3+x4 = 2462x1+2x2+3x3+x5 = 2212x1+18x2+24x3+x6 = 1248
х1≥0, х2≥0, х3≥0
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 42 54 60 1 0 0
2 2 3 0 1 0
12 18 24 0 0 1
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:х0 = (0,0,0,246,22,1248)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 246 42 54 60 1 0 0
x5 22 2 2 3 0 1 0
x6 1248 12 18 24 0 0 1
F(X0) 0 -1500 -2200 -2800 0 0 0
1
. Проверка критерия оптимальности.Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.2. Определение новой базисной переменной.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.3. Определение новой свободной переменной.Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3и из них выберем наименьшее:min (246 : 60 , 22 : 3 , 1248 : 24 ) = 41/10Следовательно, 1-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (60) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4 246 42 54 60 1 0 0 41/10
x5 22 2 2 3 0 1 0 22/3
x6 1248 12 18 24 0 0 1 52
F(X1) 0 -1500 -2200 -2800 0 0 0
4. Пересчет симплекс-таблицы.Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x3.Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=60
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
