На предприятии имеется четыре вида ресурсов и оно выпускает 4 вида продукции. Исходное условие задачи задано в таблице.
Вид ресурса Затраты ресурсов на одно изделие
Запас ресурса
1 2 3 4
В1
3 0 3 1 400
В2
4 2 5 2 550
В3 0 5 2 6 650
В4
4 1 3 2 520
Цена 1 единицы продукции 6 5 7 9
Найти оптимальный план выпуска продукции.
Требуется:
Составить математическую модель исходной и двойственной задачи.
Записать оптимальный план исходной задачи
Записать оптимальный план двойственной задачи
Проанализировать решение с помощью свойств двойственных оценок
Можно ли спрогнозировать изменение целевой функции в отчетном плане, если дополнительно приобрести 300 ед четвертого ресурса, если можно , то на сколько измениться целевая функция.
Решение
1) Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество изделий вида 1, шт, х2 - количество изделий вида 2, шт, х3 - количество изделий вида 3, штх4 - количество изделий вида 4, шт запланированных к производству.Для их изготовления потребуется (3 х1 +3х3+1х4) единиц ресурса В1, (4х1 +2х2+5х3+2х4) единиц ресурса В2, (5х2+2х3+6х4) единиц ресурса В3, (4х1 +х2+3х3+2х4) единиц ресурса В4. Так как, потребление ресурсов В1,В2,В3,В не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
3 х1 +3х3+х4≤4004х1 +2х2+5х3+2х4≤5505х2+2х3+6х4≤6504х1 +х2+3х3+2х4≤520
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ,х3,х4≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.х3,х4
Суммарная прибыль составит 6х1 от реализации продукции 1 и 5х 2 от реализации продукции 7х3 от реализации продукции 3, 9х4от реализации продукции 4, то есть :
F = 6х1 +5х 2+7х3+9х4→max.
2) Оптимальный план прямой можно записать так( согласно приложено распечатке):x3 = 15x4 = 1031/3x1 = 671/12Zmzx(X) = 7•15 + 9•1031/3 + 6•671/12 = 14371/2
3)двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:
W(Y)=400Y1+550Y2+650Y3+520Y4 (min)
Ограничения:
3Y1 + 4Y2 + 0Y3 + 4Y4
≥ 6
0Y1 + 2Y2 + 5Y3 + 1Y4
≥ 5
3Y1 + 5Y2 + 2Y3 + 3Y4
≥ 7
1Y1 + 2Y2 + 6Y3 + 2Y4
≥ 9
Y1 ≥ 0
Y2 ≥ 0
Y3 ≥ 0
Y4 ≥ 0
Оптимальный план двойственной задачи равен( согласно приложенной распечатке):y1 = 0y2 = 1/4y3 = 1y4 = 11/4Wmin(Y) = 400*0+550*1/4+650*1+520*11/4 = 14371/2
4) Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.
1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдет, если изменить объем 2-го ресурса ( * y4 = 1,25), а изменение четвертого ресурса (в границах устойчивости) не приведет к изменению целевой функции ( * y1 = 0).Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:3*671/12 + 0*0 + 3*15 + 1*1031/3 = 3497/12< 4004*671/12 + 2*0 + 5*15 + 2*1031/3 = 550 = 5500*671/12 + 5*0 + 2*15 + 6*1031/3 = 650 = 6504*671/12 + 1*0 + 3*15 + 2*1031/3 = 520 = 5201-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е
. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0.Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 505/12 (400-3497/12).Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0).3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).4-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 4-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y4>0).Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.3.При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:3*0 + 4*1/4 + 0*1 + 4*11/4 = 6 = 60*0 + 2*1/4 + 5*1 + 1*11/4 = 63/4> 53*0 + 5*1/4 + 2*1 + 3*11/4 = 7 = 71*0 + 2*1/4 + 6*1 + 2*11/4 = 9 = 91-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0).2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x2 = 0.Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.При этом разница между ценами (63/4 - 5 = 13/4) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.3-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
