На основании данных о темпе прироста (%) внутреннегонационального продукта (Y) и промышленного производства (X) десятиразвитых стран мира за 2012 г

А)определим оценки вектора b линейного уравнения регрессии;
Оценить параметры регрессионной модели (предполагается линейная модель), т.е. y=β0+β1x1+ε;
Получим следующие матрицы:
Y=3,53,12,22,71,63,11,82,32,3, X=14,314,611111112,03,11,43,42,62,62,4, β=β0β1
Согласно методу наименьших квадратов, вектор оценок коэффициентов регрессии, можно найти по формуле:
b=(XTX)-1XTY
где XT – транспонированная матрица X; (XTX)-1 - матрица, обратная матрице XTX.
Получаем:
XT=1111111114,34,62,03,11,43,42,62,62,4
XTX=1111111114,34,62,03,11,43,42,62,62,4∙14,314,611111112,03,11,43,42,62,62,4=926,426,486,06
XTY=1111111114,34,62,03,11,43,42,62,62,4∙3,53,12,22,71,63,11,82,32,3=22,671,04
(XTX)-1=1,109-0,3403-0,34030,116
b=(XTX)-1XTY= 1,109-0,3403-0,34030,116∙22,671,04=0,900,55
Тогда оценка уравнения регрессии будет иметь вид:
y=0,90+0,55∙х
β0=0,90 β1=0,55
б)при α=0,05 проверить значимость уравнении регрессии
Определим вектор модельных значений результативного показателя y:
y=xb=14,314,611111112,03,11,43,42,62,62,4∙0,900,55=3,263,432,002,601,672,772,332,332,22
Тогда остаточная дисперсия:
Qост=(y-y)Ty-y==i=1n(yi-yi)2=((3,5-3,26)2+(3,1-3,43)2…+(2,3-2,22)2)=0,615
QR=(y-y)2
где y=3,5+3,1+2,2+2,7+1,6+3,1+1,8+2,3+2,39=2,51
QR=((3,26-2,51)2+(3,43-2,51)2…+2,22-2,51)2=2,614
Тогда Qобщ=(y-y)2=QR+Qост=2,614+0,615=3,229
Несмещенная оценка остаточной дисперсии равна:
S2=1n-k-1(Y-Xb)TY-Xb=19-1-1∙0,615=0,088
Оценка среднего квадратического отклонения:
S=S2=0,088=0,296
Проверим на уровне значимости α=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е . гипотезу H0:β=0 β0=β1=β2=0по F-критерию:
Fнабл=QR(k+1)Qост(n-k-1)
По таблице F-распределение найдем Fкр α=0,05, ϑ1=k+1=1+1=2, ϑ2=n-k-1=9-1-1=7. Значения QR и Qост известны
Fкр=5,59
Fнабл=2,614(1+1)0,615(9-1-1)=2,61420,6157≈14,87
Гипотеза H0:β=0 отклоняется с вероятностью α = 0,05, т.к