Цель работы – повторение теоретического материала, укрепление умений и получение навыков решения типовых задач по курсу эконометрики по теме: «Модель парной регрессии».
Задачи:
определить основные оценки случайных величин, в частности: средние значения, дисперсии, среднеквадратическое отклонение, коэффициент парной корреляции;
проведение парного регрессионного анализа;
проведение оценки значимости уравнения регрессии;
осуществление точечного и интервального прогноза.
Имеются данные за 2016 год по регионам России о среднесписочной численности работников и потребности в рабочей силе: у – потребность в рабочей силе, х – среднесписочная численность работников на 2016 год. Данные приведены в таблице 1.
Таблица 1
Исходные данные
Регион Списочная численность работников - всего, тыс. человек Потребность в работниках для замещения вакантных рабочих мест, тыс. человек
Центральный федеральный округ
Белгородская область 346,5 5,5
Брянская область 204,2 2,7
Владимирская область 247,2 9,0
Воронежская область 413,5 6,2
Ивановская область 138,3 2,1
Калужская область 195,6 4,2
Продолжение таблицы 1
Регион Списочная численность работников - всего, тыс. человек Потребность в работниках для замещения вакантных рабочих мест, тыс. человек
Костромская область 112,3 2,7
Курская область 217,4 3,7
Липецкая область 220,1 2,4
Московская область 1387,5 42,0
Орловская область 140,9 3,3
Рязанская область 210,3 4,9
Смоленская область 180,9 4,0
Тамбовская область 174,7 1,8
Тверская область 226,4 5,0
Тульская область 295,2 5,9
Ярославская область 271,3 4,6
г. Москва 2660,2 83,8
Требуется:
Рассчитайте параметры уравнений регрессий y=a×xb+ε и y=a++bx+ε.
Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
С помощью F-статистики Фишера (при 0,05 ) оцените надежность уравнения регрессии.
Рассчитайте прогнозное значение yпрогн , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для 0,01 .
Решение
Построение и анализ степенной модели регрессии вида: y=a×xb+ε.
Степенная модель регрессии является нелинейной по параметру b, для применения МНК при оценке параметров модели проведем ее линеаризацию. Линеаризующее преобразование: Y=Ln(y); X=Ln(x).
Получим модель, приведенную к линейному виду:
Y=Lna+b×X.
Определим параметры данной модели согласно рассмотренной ранее методике. Составим расчетную таблицу 2 для степенной функции:
Таблица 2
xi
yi
Xi
Xi2
Yi
XiYi
Yi
Yi-Yi2
yi
yi-yi2
yi-yiyi
1 346,50 5,50 5,85 34,20 1,70 9,97 1,95 0,06 7,01 2,27 0,27
2 204,20 2,70 5,32 28,29 0,99 5,28 1,32 0,11 3,76 1,13 0,39
3 247,20 9,00 5,51 30,36 2,20 12,11 1,55 0,42 4,71 18,41 0,48
4 413,50 6,20 6,02 36,30 1,82 10,99 2,15 0,11 8,62 5,88 0,39
5 138,30 2,10 4,93 24,30 0,74 3,66 0,87 0,02 2,38 0,08 0,13
6 195,60 4,20 5,28 27,84 1,44 7,57 1,27 0,03 3,58 0,39 0,15
7 112,30 2,70 4,72 22,29 0,99 4,69 0,62 0,14 1,86 0,70 0,31
8 217,40 3,70 5,38 28,96 1,31 7,04 1,40 0,01 4,05 0,12 0,09
9 220,10 2,40 5,39 29,10 0,88 4,72 1,41 0,29 4,11 2,92 0,71
10 1 387,5 42,0 7,24 52,35 3,74 27,04 3,58 0,03 35,81 38,32 0,15
11 140,90 3,30 4,95 24,48 1,19 5,91 0,89 0,09 2,43 0,75 0,26
12 210,30 4,90 5,35 28,61 1,59 8,50 1,36 0,05 3,89 1,01 0,21
13 180,90 4,00 5,20 27,02 1,39 7,21 1,18 0,04 3,26 0,54 0,18
14 174,70 1,80 5,16 26,66 0,59 3,03 1,14 0,31 3,13 1,77 0,74
15 226,40 5,00 5,42 29,40 1,61 8,73 1,45 0,03 4,25 0,57 0,15
16 295,20 5,90 5,69 32,35 1,77 10,10 1,76 0,00 5,80 0,01 0,02
17 271,30 4,60 5,60 31,40 1,53 8,55 1,66 0,02 5,25 0,43 0,14
18 2 660,2 83,8 7,89 62,19 4,43 34,92 4,34 0,01 76,99 46,40 0,08
∑ 7 642,5 193,8 100,9 576,09 29,9 180,0 29,91 1,74 180,9 121,69 4,86
ср. 424,58 10,77 5,61 32,00 1,66 10,00
Предварительно определим среднеквадратическое отклонение Х:
σX2=Xi2-X2=32-5,612=0,765
Определяем параметры уравнения:
b=XY-X×YσX2=10-5,61×1,660,7652=1,176;
A=Y-b×X=1,66-1,176×5,61=-4,930.
Тогда модель в линеаризованном виде:Y=-4,930+1,176X, по ней рассчитаем модельные значения Y и квадраты отклонений Yi-Yi2, результаты внесем в таблицу 2.
Выполним потенцирование:
a=e-4,930=0,007.
Таким образом уравнение степенной регрессии имеет вид:
y=0,007×x1,176.
Подставим в найденное уравнение фактические значения х, получим теоретические значения результата (yi), а также дополнительные расчетные значения абсолютных и относительных отклонений (результаты внесены в соответствующие столбцы таблицы 2).
По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции, а также коэффициент детерминации:
ρxy=1-y-y2y-y2=1-121,697 040,74=0,991.
Поскольку индекс корреляции равен 0,991, можно сделать вывод, что связь весьма высокая. Коэффициент детерминации R2=ρxy2=0,983 свидетельствует о том, что согласно степенной модели на 98,3% вариация результативного признака у определяется включенным в модель фактором х, а 1,7% приходится на действие других, не учтенных в модели факторов, что свидетельствует о высоком качестве подгонки модели
.
Определим средний коэффициент эластичности, который для степенной моделе равен коэффициенту регрессии b:
Э=b=1,176.
При увеличении фактора х на 1% результат у изменяется на 1,176%. Влияние существенное.
Оценим величину средней ошибки аппроксимации по ранее приведенной формуле:
Ai=1nyi-yiyi×100%=118×4,86×100%=27,02%.
Средняя ошибка аппроксимации составила 27,02%, что выходит за рамки допустимого диапазона значений для этой ошибки (до 15%). Расчетные значения отклоняются от фактических в среднем на 27,02%, точность модели недостаточная по данному критерию.
Оценим адекватность выбранного уравнения, т.е. насколько правильно оно описывает (аппроксимирует) положение исходных точек на координатном поле. Такая оценка выполняется с помощью F-критерия (критерия Фишера-Снедекора). Формулируются гипотезы: H0: R2 = 0 при конкурирующей H1: R2 ≠ 0. Расчетное значение критерия (m = 1 – число факторов модели):
Fфакт=R21-R2×n-m-1m=0,9831-0,983×19-1-11=909,751
Расчетное значение сравниваем с табличным (критическим) при выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы v1=m=1 и v2=n - m -1=18-1-1=16, тогда FКР=4,494.
Верно неравенство, Fфакт>FКР , следовательно, отвергаем нулевую гипотезу, тогда построенное уравнение степенной регрессии следует признать статистически значимым с доверительной вероятностью р = 0,95.
Определим точечный прогноз потребности в рабочей силе (у), если значение фактора списочной численности работников (х) увеличится на 5% от своего среднего значения и составит: xпр=1,05×424,58=445,813тыс. чел. На основании построенного степенного уравнения регрессии получим, что значение потребности в рабочей силе составит: y=0,007×445,8131,176=9,422 тыс. чел.
Определим доверительный интервал прогноза при а = 0,01. По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05/2 и степенями свободы k=18-1-1=16, либо пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х», заполнив необходимые поля диалогового меню и находим tкрит= 3,252 .
Стандартная ошибка регрессии:
Se=(y-y)2n-m-1=121,6918-1-1=2,758.
Тогда, предельная ошибка прогноза составит:
∆y= tкрит×Se×1+1n+xпр-x2x-x2=
= 2,758×3,252×1+118+445,813-424,5826 655 823,95 = 9,214.
Доверительный интервал прогноза:
γy=y±∆y
9,422-9,214≤y≤9,422+9,214
0,208≤y≤18,637.
Таким образом, с вероятностью 99% можно гарантировать, что прогнозное значения у при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденного интервала (0,208; 18,637).
Построение и анализ квадратичной модели регрессии вида: y=a++bx+ε.
Модель регрессии является нелинейной по переменной х, для применения МНК при оценке параметров модели проведем замену X=x и получим линеаризованную модель вида: y=a+bX.
Определим параметры данной модели согласно рассмотренной ранее методике
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
