Модель парной регрессии

Построение и анализ степенной модели регрессии вида: y=a×xb+ε.
Степенная модель регрессии является нелинейной по параметру b, для применения МНК при оценке параметров модели проведем ее линеаризацию. Линеаризующее преобразование: Y=Ln(y); X=Ln(x).
Получим модель, приведенную к линейному виду:
Y=Lna+b×X.
Определим параметры данной модели согласно рассмотренной ранее методике. Составим расчетную таблицу 2 для степенной функции:
Таблица 2
xi
yi
Xi
Xi2
Yi
XiYi
Yi
Yi-Yi2
yi
yi-yi2
yi-yiyi
1 346,50 5,50 5,85 34,20 1,70 9,97 1,95 0,06 7,01 2,27 0,27
2 204,20 2,70 5,32 28,29 0,99 5,28 1,32 0,11 3,76 1,13 0,39
3 247,20 9,00 5,51 30,36 2,20 12,11 1,55 0,42 4,71 18,41 0,48
4 413,50 6,20 6,02 36,30 1,82 10,99 2,15 0,11 8,62 5,88 0,39
5 138,30 2,10 4,93 24,30 0,74 3,66 0,87 0,02 2,38 0,08 0,13
6 195,60 4,20 5,28 27,84 1,44 7,57 1,27 0,03 3,58 0,39 0,15
7 112,30 2,70 4,72 22,29 0,99 4,69 0,62 0,14 1,86 0,70 0,31
8 217,40 3,70 5,38 28,96 1,31 7,04 1,40 0,01 4,05 0,12 0,09
9 220,10 2,40 5,39 29,10 0,88 4,72 1,41 0,29 4,11 2,92 0,71
10 1 387,5 42,0 7,24 52,35 3,74 27,04 3,58 0,03 35,81 38,32 0,15
11 140,90 3,30 4,95 24,48 1,19 5,91 0,89 0,09 2,43 0,75 0,26
12 210,30 4,90 5,35 28,61 1,59 8,50 1,36 0,05 3,89 1,01 0,21
13 180,90 4,00 5,20 27,02 1,39 7,21 1,18 0,04 3,26 0,54 0,18
14 174,70 1,80 5,16 26,66 0,59 3,03 1,14 0,31 3,13 1,77 0,74
15 226,40 5,00 5,42 29,40 1,61 8,73 1,45 0,03 4,25 0,57 0,15
16 295,20 5,90 5,69 32,35 1,77 10,10 1,76 0,00 5,80 0,01 0,02
17 271,30 4,60 5,60 31,40 1,53 8,55 1,66 0,02 5,25 0,43 0,14
18 2 660,2 83,8 7,89 62,19 4,43 34,92 4,34 0,01 76,99 46,40 0,08
∑ 7 642,5 193,8 100,9 576,09 29,9 180,0 29,91 1,74 180,9 121,69 4,86
ср. 424,58 10,77 5,61 32,00 1,66 10,00
Предварительно определим среднеквадратическое отклонение Х:
σX2=Xi2-X2=32-5,612=0,765
Определяем параметры уравнения:
b=XY-X×YσX2=10-5,61×1,660,7652=1,176;
A=Y-b×X=1,66-1,176×5,61=-4,930.
Тогда модель в линеаризованном виде:Y=-4,930+1,176X, по ней рассчитаем модельные значения Y и квадраты отклонений Yi-Yi2, результаты внесем в таблицу 2.
Выполним потенцирование:
a=e-4,930=0,007.
Таким образом уравнение степенной регрессии имеет вид:
y=0,007×x1,176.
Подставим в найденное уравнение фактические значения х, получим теоретические значения результата (yi), а также дополнительные расчетные значения абсолютных и относительных отклонений (результаты внесены в соответствующие столбцы таблицы 2).
По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции, а также коэффициент детерминации:
ρxy=1-y-y2y-y2=1-121,697 040,74=0,991.
Поскольку индекс корреляции равен 0,991, можно сделать вывод, что связь весьма высокая. Коэффициент детерминации R2=ρxy2=0,983 свидетельствует о том, что согласно степенной модели на 98,3% вариация результативного признака у определяется включенным в модель фактором х, а 1,7% приходится на действие других, не учтенных в модели факторов, что свидетельствует о высоком качестве подгонки модели .
Определим средний коэффициент эластичности, который для степенной моделе равен коэффициенту регрессии b:
Э=b=1,176.
При увеличении фактора х на 1% результат у изменяется на 1,176%. Влияние существенное.
Оценим величину средней ошибки аппроксимации по ранее приведенной формуле:
Ai=1nyi-yiyi×100%=118×4,86×100%=27,02%.
Средняя ошибка аппроксимации составила 27,02%, что выходит за рамки допустимого диапазона значений для этой ошибки (до 15%). Расчетные значения отклоняются от фактических в среднем на 27,02%, точность модели недостаточная по данному критерию.
Оценим адекватность выбранного уравнения, т.е. насколько правильно оно описывает (аппроксимирует) положение исходных точек на координатном поле. Такая оценка выполняется с помощью F-критерия (критерия Фишера-Снедекора). Формулируются гипотезы: H0: R2 = 0 при конкурирующей H1: R2 ≠ 0. Расчетное значение критерия (m = 1 – число факторов модели):
Fфакт=R21-R2×n-m-1m=0,9831-0,983×19-1-11=909,751
Расчетное значение сравниваем с табличным (критическим) при выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы v1=m=1 и v2=n - m -1=18-1-1=16, тогда FКР=4,494.
Верно неравенство, Fфакт>FКР , следовательно, отвергаем нулевую гипотезу, тогда построенное уравнение степенной регрессии следует признать статистически значимым с доверительной вероятностью р = 0,95.
Определим точечный прогноз потребности в рабочей силе (у), если значение фактора списочной численности работников (х) увеличится на 5% от своего среднего значения и составит: xпр=1,05×424,58=445,813тыс. чел. На основании построенного степенного уравнения регрессии получим, что значение потребности в рабочей силе составит: y=0,007×445,8131,176=9,422 тыс. чел.
Определим доверительный интервал прогноза при а = 0,01. По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05/2 и степенями свободы k=18-1-1=16, либо пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х», заполнив необходимые поля диалогового меню и находим tкрит= 3,252 .
Стандартная ошибка регрессии:
Se=(y-y)2n-m-1=121,6918-1-1=2,758.
Тогда, предельная ошибка прогноза составит:
∆y= tкрит×Se×1+1n+xпр-x2x-x2=
= 2,758×3,252×1+118+445,813-424,5826 655 823,95 = 9,214.
Доверительный интервал прогноза:
γy=y±∆y
9,422-9,214≤y≤9,422+9,214
0,208≤y≤18,637.
Таким образом, с вероятностью 99% можно гарантировать, что прогнозное значения у при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденного интервала (0,208; 18,637).
Построение и анализ квадратичной модели регрессии вида: y=a++bx+ε.
Модель регрессии является нелинейной по переменной х, для применения МНК при оценке параметров модели проведем замену X=x и получим линеаризованную модель вида: y=a+bX.
Определим параметры данной модели согласно рассмотренной ранее методике