Дано: зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi, тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. (табл. 3):
Таблица 3
Значения факторов хi и уi (одинаковое для всех вариантов)
хi 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4
уi 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
Вар. Значения фактора zi (по вариантам)
3 2,4 3,1 3,4 3,7 4,0 4,2 4,5 4,7 6,0 5,9 6,3 6,4 6,3 6,5 7,2
Требуется:
1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ;
2. Найти частные уравнения регрессии;
3. Найти парные коэффициенты корреляции ;
4. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость;
5. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость;
6. Найти частные коэффициенты корреляции;
7. Проверить значимость уравнения регрессии
Решение
В соответствии с методом наименьших квадратов найдем уравнение линейной регрессии .
Система трех нормальных уравнений имеет вид:
Для дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу:
Таблица 1
Вспомогательная таблица
№ zi xi yi zixi ziyi yixi xi2 yi2 z2
2,4 2 1 4,8 2,4 2 4 1 5,76
3,1 3 1 9,3 3,1 3 9 1 9,61
3,4 4 1 13,6 3,4 4 16 1 11,56
3,7 2 2 7,4 7,4 4 4 4 13,69
4 3 2 12 8 6 9 4 16
4,2 4 2 16,8 8,4 8 16 4 17,64
4,5 3 3 13,5 13,5 9 9 9 20,25
4,7 4 3 18,8 14,1 12 16 9 22,09
6 5 3 30 18 15 25 9 36
5,9 3 4 17,7 23,6 12 9 16 34,81
6,3 4 4 25,2 25,2 16 16 16 39,69
6,4 5 4 32 25,6 20 25 16 40,96
6,3 2 5 12,6 31,5 10 4 25 39,69
6,5 3 5 19,5 32,5 15 9 25 42,25
7,2 4 5 28,8 36 20 16 25 51,84
сумма 74,6 51 45 262 252,7 156 187 165 401,84
ср.знач. 4,973 3,4 3 17,467 16,847 10,4 12,467 11 26,789
Для исходных данных система уравнений имеет вид:
Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель равен:
∆ = 15*(187*165-156*156)-51*(51*165-156*45)+
+45*(51*156-187*45) = 5985.
Заменим первый столбец матрицы А на вектор результата В:
∆1 =
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 59,6*(187*165-156*156) – 262*(51*165-156*45)+
+252,7*(51*156-187*45) = 4838,1
.
Заменим второй столбец матрицы А на вектор результата В:
∆2=
Найдем определитель полученной матрицы:
∆2 = 15*(262*165-252,7*156)-51*(74,6*165-252,7*45)+
+45*(74,6*156-262*45) = 2461,5
.
.
Заменим третий столбец матрицы А на вектор результата В:
∆3 =
Найдем определитель полученной матрицы:
∆3 = 15*(187*252,7-156*262) – 51*(51*252,7-156*74,6)+
+45*(51*2629-187*74,6) = 5519,4.
.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
.
2) Найдем частные уравнения регрессии.
;
3) Найдем парные коэффициенты корреляции .
Определим параметры уравнения регрессии.
Выборочные дисперсии:
;
;
.
Среднеквадратическое отклонение:
;
;
.
Рассчитываем парные коэффициенты корреляции :
4) С доверительной вероятностью р=0,95 проверим коэффициенты корреляции на значимость.
а) Выполним проверку значимости коэффициента корреляции .
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0;
H1: rxy ≠ 0.
Для того чтобы при уровне значимости р=0,95 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки):
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости р=0,95 и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
