Методом узловых потенциалов

При применении метода узловых потенциалов нужно один из узлов заземлить. Пусть 4=0. Тогда система уравнений для определения потенциалов узлов 1-3 имеет вид:
4032071270000
где: G11, G22, G33 – собственные проводимости узлов 1-3 (суммы проводимостей всех ветвей, примыкающих к узлам 1-3 соответственно);
G12= G21 – общая проводимость узлов 1 и 2 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2);
G13= G31 – общая проводимость узлов 1 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 3);
G23= G32 – общая проводимость узлов 2 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 2 и 3);
I11 , I22, I33 – суммарные узловые токи (алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей плюс алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях, примыкающих к рассматриваемому узлу) .
Подставив числовые значения величин, получим систему уравнений
Решаем систему уравнений и находим потенциалы узлов:
По закону Ома определяем токи ветвей.
Вычерчиваем выбранный контур 1-2-4-3-1 с указанием направлений токов в ветвях . Произвольно выбираем узел 1 контура , заземляем его, т. е. считаем, что потенциал 1 = 0.
Определим потенциалы остальных узлов контура
φ2R2= I2∙R2=-12,68В; φ2 = φ2R2-Е1 = -22.68В; φ4= φ2+I1R1= -30,745В;
φ3= φ4+I5R5=-17,5B; φ1= φ3+I4R4=0
Потенциальная диаграмма
Исходные данные: U= 50 В, Z1 = (50+j40) Ом, Z2 = 100 Ом Z3 = (80-j10) Ом,
Определим сопротивления ветвей цепи
Z2 = 100 Ом
Z3 = 80- j10,0 Ом = 80,63e-j7,130Ом
Вторая и третья ветвь соединены параллельно, их результирующее сопротивление равно
Z2-3=Z3∙Z2Z3+Z2=100∙80,63e-j7,130 100+80-j10=44,72e-j3,950=(44,62-j3,08)Ом
Полное сопротивление равно
Z = Z1+ Z2-3 = 50+j40+44,62-j3,08=94,62+j46,92Ом= =105,62ej26,380Ом
Определим токи в ветвях
I1=UZ=50105,62ej26,380 =0,47e-j26,380=(0,42-j0,21)Ом
U2-3=I1 ∙Z2-3=0,47e-j26,380∙44,72e-j3,950= 21,02e-j30,330В
I2=U2-3Z2=21,02e-j30,330100=0,21e-j30,330A=0,18-j0,106A
I3=U2-3Z3=21,02e-j30,33080,63e-j7,130=0,26e-j23,20A=0,24-j0,104A
Вычислим мощность на зажимах цепи
Sвх=U∙I1*=50∙0,47ej26,380=23,5ej26,380В∙А=21,22Вт+j10,44ВАр
Вычислим мощность ветвей цепи
Реактивные мощности
P=I1 2∙r1+I2 2∙r2+I3 2∙r3=0,472∙50+0,212∙100+0,262∙80=20,86Вт
Q=I1 2∙XL1-I3 2∙XC3=0,472∙40-0,262∙10=8,16ВАр
S1=I1 ∙I1*∙Z1=0,472∙50+j40=11,04Вт+j8,84ВАр
S2=I2 ∙I2*∙Z2=0,212∙100=4,41Вт
S3=I3 ∙I3*∙Z3=0,262∙80-j10=5,41Вт-j0,68Вар