Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения

Пусть правая часть уравнения является оригиналом, тогда и искомая функция xt будет оригиналом. Преобразуем обе части уравнения по Лапласу, воспользовавшись формулой изображения производной оригинала:
fnt→pn∙Fp-pn-1∙f0-pn-2∙f'0-…-p∙f(n-2)0-f(n-1)0,
где ft→Fp.
Имеем:
x t→Xp;
x't→pXp-x0=pXp;
x''t→p2∙Xp-p∙x0-x'0=p2∙Xp;
e-2t→1p+2.
Операторное уравнение имеет вид
p2∙Xp-9Xp=1p+2.
Выразим отсюда Xp:
p2-9∙Xp=1p+2;
Xp=1p+2p2-9=1p-3p+2p+3.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
Xp=1p-3p+2p+3=Ap-3+Bp+2+Cp+3=
=Ap+2p+3+Bp-3p+3+Cp-3p+2p-3p+2p+3=
=Ap2+5p+6+Bp2-9+Cp2-p-6p-3p+2p+3.
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
p2:A+B+C=0,p1:5A-C=0,p0:6A-9B-6C=1, A=130,B=-15,C=16.
Значит,
Xp=130p-3-15p+2+16p+3.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Xp→130e3t-15e-2t+16e-3t=xt.
Следовательно, решением заданного уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция:
xt=130e3t-15e-2t+16e-3t.