Методом конечных разностей найти решение краевой задачи

Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
y'xi=yi+1-yi-12h
y0=1-y2-2y1+y0(1/3)2+y1=2+x1+x12-y3-2y2+y11/32+y2=2+x2+x22y3=e
y0=1-9y2+18y1-9y0+y1=2,44444-9y3+18y2-9y1+y2=3,11111y3=2,71828
y0=1-9y0+19y1-9y2=2,44444-9y1+19y2-9y3=3,11111y3=2,71828
1000-919-900-919-9000112,444443,111112,71828
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100α2-β2γ200α3-β3γ300α4-β4δ1δ2δ3δ4
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,473684
P3=γ3β3-α3P2=0,610714
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=1
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0,60234
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=0,57897
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
y4=α4Q3-δ4β4-α4P2=2,71828,
y3=P3y4+Q3=2,23906,
y2=P2y3+Q2=1,66295,
y1=P1y2+Q1=1,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
y0=1-y2-2y1+y0(1/6)2+y1=2+x1+x12-y3-2y2+y11/62+y2=2+x2+x22-y4-2y3+y21/62+y3=2+x3+x32-y5-2y4+y3(1/6)2+y4=2+x4+x42-y6-2y5+y4(1/6)2+y5=2+x5+x52y6=e
y0=1-36y0+72y1-36y2+y1=2,19444-36y1+72y2-36y3+y2=2,44444-36y2+72y3-36y4+y3=2,75-36y3+72y4-36y5+y4=3,11111-36y4+72y5-36y6+y5=3,52778y6=2,71828
y0=1-36y0+73y1-36y2=2,19444-36y1+73y2-36y3=2,44444-36y2+73y3-36y4=2,75-36y3+73y4-36y5=3,11111-36y4+73y5-36y6=3,52778y6=2,71828
Решим систему уравнений
y0=1,
y1=1,34426,
y2=1,66490,
y3=1,96389,
y4=2,24104,
y5=2,49402,
y6=2,71828,
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 1 1 0
0,166667
1,344257
0,333333 1,662947 1,664898 0,00065
0,5
1,963885
0,666667 2,23906 2,241035 0,000658
0,833333
2,494016
1 2,71828 2,718282 0
Графики приближенных решений: