Мебельная фабрика выпускает книжные полки и шкафы. Их производство ограничено наличием необходимых ресурсов (древесно-стружечных плит (ДСП), досок (Д) и стекла (С). Нормы затрат ресурсов на единицу продукции, запасы ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице.
Виды ресурсов Виды продукции Запасы ресурсов
Полки Шкафы
ДСП 3 2 27
Д 2 4 28
С 2 3 23
Прибыль 4 7
Требуется составить производственный план выпуска продукции с учетом имеющихся ресурсов, который обеспечивал бы наибольшую прибыль.
Решение
Переменные. Так как нужно максимизировать прибыль, а она зависит от объемов производства книжных полок и шкафов, то переменными являются:
x1 - объем производства книжных полок;
x2 - объем производства шкафов.
Целевая функция. Так как прибыль от реализации одной книжной полки равна 4 ден.ед., прибыль от продажи составит 4x1 ден.ед. Аналогично прибыль от продажи шкафов составит 7x2 ден.ед. При допущении независимости объемов сбыта каждого вида продукции прибыль равна сумме двух слагаемых - прибыли от реализации книжных полок и шкафов.
Обозначив доход (в ден.ед.) через f(x), можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить допустимые значения x1 и x2, максимизирующие величину общего прибыли:
fx=4x1+7x2
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход ресурсов, что можно записать так:
3x1+2x2≤27 (по запасу ДСП)
2x1+4x2≤28 (по запасу досок)
2x1+3x2≤23 (по запасу стекла)
Вводятся также условия неотрицательности переменных, т. е. ограничения на их знак: x1≥0 и x2≥0. Эти ограничения заключаются в том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательных значений
. Также x1 и x2 должны быть целыми числами.
Следовательно, математическая модель записывается следующим образом:
Определить объемы производства (x1 и x2 ) книжных полок и шкафов, при которых достигается
maxxf(x)=maxx4x1+7x2
при наличии ограничений
3x1+2x2≤272x1+4x2≤282x1+3x2≤23x1,2≥0x1,2-целые
Полученная модель относится к задачам линейного программирования, так как целевая функция и функции ограничений – линейные, а на переменные наложено ограничение неотрицатльности. Следовательно, решить задачу, провести анализ полученного решения можно с помощью методов решения задач линейного программирования.
Решаем графическим способом.
Рассмотрим первое неравенство системы ограничений:
3x1+2x2≤27
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x19+x227/2=1
Итак, прямая проходит через точки 9;0, 0;13.5. Точка 0;0:
0≤27-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим второе неравенство системы ограничений:
2x1+4x2≤28
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x114+x27=1
Итак, прямая проходит через точки 14;0, 0;7. Точка 0;0:
0≤28-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим третье неравенство системы ограничений:
2x1+3x2≤23
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x111.5+x223/3=1
Итак, прямая проходит через точки 11.5;0, 0;23/3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
