1. Просматривая выборку из Х, находим минимальное значение x=x1=52, которое встречается один раз. Следующее большее значение x2=55 встречается также один раз. Продолжая просмотр, получим следующий вариационный ряд для Х:
xi
ni
52 1
55 1
56 1
58 2
59 3
60 2
61 2
62 3
63 1
64 4
65 7
66 4
67 10
68 5
69 2
70 4
71 5
72 2
73 1
74 4
75 7
76 5
77 2
78 5
79 4
80 2
82 4
83 3
86 1
87 1
90 1
93 1
∑ 100
2. Составляем интервальный ряд распределения для X. По формуле найдем длину интервала hx:
hx=xmax-xmin1+3.332lgn=93-521+3.332lg100≈5.35
Округляя до ближайшего целого честного числа, получим hx=6. Находим начало 1-го интервала xнач:
xнач=xmin-hx2=52-62=49
Заполняем таблицу:
Начало интервала, xi
Конец интервала, xi+1
Середина интервала, xi
Частота интервала, ni
Относительная частота интервала, pi=nin
49 55 52 2 0,02
55 61 58 10 0,1
61 67 64 29 0,29
67 73 70 19 0,19
73 79 76 27 0,27
79 85 82 9 0,09
85 91 88 3 0,03
91 97 94 1 0,01
∑ 100 1
3. Строим гистограмму интервального распределения X.
По гистограмме строим график эмпирической функции плотности вероятности
4. Из гистограммы видно, что модой является середина 3-го интервала, имеющего максимальную частоту. Середина 3-го интервала x3=64=Mo является модой интервального распределения Х.
Срединным интервалом является 4-й интервал, т.к. середина этого интервала
x4=70=Me является медианой интервального распределения X.
5. Составим вспомогательную таблицу для расчета числовых характеристик
Начало интервала, xi
Конец интервала, xi+1
Середина интервала, xi
Частота интервала, ni
xini
xi2ni
49 55 52 2 104 5408
55 61 58 10 580 33640
61 67 64 29 1856 118784
67 73 70 19 1330 93100
73 79 76 27 2052 155952
79 85 82 9 738 60516
85 91 88 3 264 23232
91 97 94 1 94 8836
Σ
100 7018 499468
Находим выборочное среднее:
x=1ni=1kxini=7018100=70.18
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления Dx=x2-x2. Имеем:
x2=1ni=1kxi2ni=499468100=4994.68
Dx=x2-x2=4994.68-70.182=69.4476
Находим выборочное с.к.о.:
σx=Dx=69.4476≈8.33
6. Интервальной оценкой (с надежностью у) математического ожидания М(Х) нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней x при известном среднеквадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
x-tσn<a<x+tσn
Найдем t из соотношения Фt=0.902=0.45;t=1.645
70.18-1.645*8.33100<a<70.18+1.645*8.33100
68.8097<a<71.5503
Доверительный интервал для оценки дисперсии находим по формуле:
Используя формулу:
S2-xβ*S22n-1<DX<S2+xβ*S22n-1
S2=nn-1*Dx=10099*69.4476=70.15
70.15-1.645*70.15*2100-1<DX<70.15+1.645*70.15*2100-1
53.7482<DX<86.5518
7
. Ввиду малочисленности частот объединяем первые два интервала, и последние 3 интервала. Получается таблица
Начало интервала, xi
Конец интервала, xi+1
Частота интервала, ni
49 61 12
61 67 29
67 73 19
73 79 27
79 97 13
Σ
100
Найдем теоретические частоты ni'=n*Pi, где Pi=Pxi<X<xi+1- вероятность того, что случайная величина попадет в интервал xi;xi+1.
Так как предполагаемый закон распределения нормальный, то
Pi=Фk2-Фk1=Фxi+1-xBσB-Фxi-xBσB
где Ф(x) – функция Лапласа (приложение функции Лапласа). Вычисления приведем в таблице:
i
ni
k1
k2
Фk1
Фk2
Pi
ni'=n*Pi
1 - 61 12 - -1,10 -0,5 -0,3643 0,1357 13,57
2 61 67 29 -1,10 -0,38 -0,3643 -0,1480 0,2163 21,63
3 67 73 19 -0,38 0,34 -0,1480 0,1331 0,2811 28,11
4 73 79 27 0,34 1,06 0,1331 0,3554 0,2223 22,23
5 79 + 13 1,06 + 0,3554 0,5 0,1446 14,46
100
100
8. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу
i
ni
ni'
ni-ni'
ni-ni'2
ni-ni'2ni'
1 12 13,57 -1,57 2,4649 0,182
2 29 21,63 7,37 54,3169 2,511
3 19 28,11 -9,11 82,9921 2,952
4 27 22,23 4,77 22,7529 1,024
5 13 14,46 -1,46 2,1316 0,147
χнабл2=6.816
По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k=s-3=5-3=2 (s – число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области χкр20.05;2=6.
Сравним χнабл2 и χкр2. Так как χнабл2=6.816>χкр2=6, отклоняем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Аналогичным образом проводим расчеты для выборки Y.
1. Просматривая выборку из Y, находим минимальное значение Y=y1=76, которое встречается один раз. Следующее большее значение y2=78 встречается 2 раза. Продолжая просмотр, получим следующий вариационный ряд для Y:
yi
ni
76 1
78 2
80 1
81 3
82 4
83 4
84 4
85 6
86 9
87 9
88 8
89 6
90 8
91 4
92 4
93 3
94 6
95 7
96 3
97 5
100 1
105 2
∑ 100
2. Составляем интервальный ряд распределения для Y. По формуле найдем длину интервала hy:
hy=ymax-ymin1+3.332lgn=105-761+3.332lg100≈3.784
Округляя до ближайшего целого честного числа, получим hy=4. Находим начало 1-го интервала yнач:
yнач=ymin-hy2=76-42=74
Заполняем таблицу:
Начало интервала, yi
Конец интервала, yi+1
Середина интервала, yi
Частота интервала, ni
Относительная частота интервала, pi=nin
74 78 76 3 0,03
78 82 80 8 0,08
82 86 84 23 0,23
86 90 88 31 0,31
90 94 92 16 0,16
94 98 96 16 0,16
98 102 100 1 0,01
102 106 104 2 0,02
∑ 100 1
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
