Магнитное поле цилиндрического проводника

1. Определить зависимость потенциала векторного магнитного потенциала в функции радиуса от оси цилиндра, построить график.
Для определения векторного магнитного потенциала необходимо решить уравнение Пуассона
,
при граничных условиях на поверхности раздела сред:
и .
Расположим оси цилиндрической системы координат так, чтобы ось совпала с осью цилиндра. Так как вектор плотности тока имеет только одну проекцию, то и векторной потенциал будет иметь только одну проекцию на ось z.
Учитывая, что поле обладает круговой симметрией, для векторного потенциала имеем уравнение:
где .
Граничные условия при будут :
,
Решив краевую задачу получим выражение для векторного потенциала
При 0≤r≤r0
A1=-μ0I4πr02r2=-10-7∙60,482r2=-26∙10-7r2;
При r0≤r≤∞
A2=-μ0I4π1+2lnrr0=-6∙10-7∙1+2lnr0,48;
310783207189409073319715952783527310220
Рис . 6.2
.Вычислить магнитный поток, замыкающейся в самом проводе на 1м его длины, потокосцепление самоиндукции и внутреннюю индуктивность.
Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом r<R . Тогда ток внутри контура интегрирования:
ir=δπr2=Ir2R2; , откуда i(r)I=r2R2; 
Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интегральной форме :
H∙dl=H∙2πr=iпол=Ir2R2
откуда следует и . H=I2πR2; B=μμ0I2πR2;
Векторы  B и H направлены по касательной к окружности, их направление определяется по правилу правоходового винта.
При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dф на единицу длины провода (l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину dy :
dф=BdS=Bldr=μμ0I2πR2rdr;
dψ=dфirI=μμ02πR2rdrr2R2=μμ02πR4r3dr;
Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода:
Фвнутр=0Rdф=0Rμμ0I2πR2rdr=μμ04π=1∙10-7;
ψвнутр=0Rdψ=μμ0I2πR4r3dr=μμ0I4π=6∙10-7;
Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктивности провода на единицу длины :
Lвнутр=ψпрI=μμ04π=10-7Гн;
3