Магнитное поле цилиндрического проводника
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Магнитное поле цилиндрического проводника
По цилиндрическому медному проводу протекает постоянный ток . В плоскости, проходящей через ось провода, расположена тонкая катушка с числом витков (рис. 6.1).
Рис.6.1. Цилиндрический провод с током
Вариант: N =6 ; n =18.
Численные данные:
ТокА, число витков , радиус провода
см, см, см.
Определить зависимость потенциала векторного магнитного потенциала в функции радиуса от оси цилиндра, построить график.
Вычислить магнитный поток, замыкающейся в самом проводе на 1м его длины, потокосцепление самоиндукции и внутреннюю индуктивность.
Найти выражение взаимной индуктивности M между проводом и рамкой. Вычислить взаимную индуктивность для заданных параметров.
Найти ЭДС , индуктируемую в цилиндрическом проводе при протекании тока А в катушке .
Построить картину магнитного поля, изобразив трубки магнитной индукции и линии равного скалярного магнитного потенциала. Потоки всех магнитных трубок как внутри, так и вне провода должны быть одинаковыми. Разности магнитных потенциалов между каждой парой соседних линий равного потенциала должны быть одинаковыми.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1. Определить зависимость потенциала векторного магнитного потенциала в функции радиуса от оси цилиндра, построить график.
Для определения векторного магнитного потенциала необходимо решить уравнение Пуассона
,
при граничных условиях на поверхности раздела сред:
и .
Расположим оси цилиндрической системы координат так, чтобы ось совпала с осью цилиндра. Так как вектор плотности тока имеет только одну проекцию, то и векторной потенциал будет иметь только одну проекцию на ось z.
Учитывая, что поле обладает круговой симметрией, для векторного потенциала имеем уравнение:
где .
Граничные условия при будут :
,
Решив краевую задачу получим выражение для векторного потенциала
При 0≤r≤r0
A1=-μ0I4πr02r2=-10-7∙60,482r2=-26∙10-7r2;
При r0≤r≤∞
A2=-μ0I4π1+2lnrr0=-6∙10-7∙1+2lnr0,48;
310783207189409073319715952783527310220
Рис
. 6.2
.Вычислить магнитный поток, замыкающейся в самом проводе на 1м его длины, потокосцепление самоиндукции и внутреннюю индуктивность.
Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом r<R . Тогда ток внутри контура интегрирования:
ir=δπr2=Ir2R2; , откуда i(r)I=r2R2;
Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интегральной форме :
H∙dl=H∙2πr=iпол=Ir2R2
откуда следует и . H=I2πR2; B=μμ0I2πR2;
Векторы B и H направлены по касательной к окружности, их направление определяется по правилу правоходового винта.
При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dф на единицу длины провода (l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину dy :
dф=BdS=Bldr=μμ0I2πR2rdr;
dψ=dфirI=μμ02πR2rdrr2R2=μμ02πR4r3dr;
Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода:
Фвнутр=0Rdф=0Rμμ0I2πR2rdr=μμ04π=1∙10-7;
ψвнутр=0Rdψ=μμ0I2πR4r3dr=μμ0I4π=6∙10-7;
Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктивности провода на единицу длины :
Lвнутр=ψпрI=μμ04π=10-7Гн;
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
