Линия задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат:
y2-2y+3x-3=0.
Требуется:
1) перевести уравнение кривой в полярную систему координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс–с полярной осью;
2) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π , придавая φ значения через промежуток π8 .
Решение
В задаче 2 уравнение кривой второго порядка y2-2y+3x-3=0 приведено к каноническому виду: y-12=-2∙32∙x-43 . Это уравнение параболы у которой ветви направлены влево, ось симметрии этой параболы: y=1, она параллельна оси ОУ, но не совпадает с ней, вершина находится в точке А (43;1 ), параметр р=32 .
Чтобы можно было данное уравнение из декартовой системы координат перевести в полярную систему координат таким образом, чтобы начало координат совпало с полюсом полярной системы координат, а положительно направленная полуось прямоугольной системы координат совпала с полярной осью, сделаем параллельный перенос прямоугольной системы координат ХОУ так, чтобы начало новой системы координат Х1О1У1 совпало с точкой фокуса данной параболы, то есть c точкой О1 , в системе координат ХОУ имеющей координаты: О1712;1
. В прямоугольной системе координат Х1О1У1 точка О1 будет иметь координаты (0;0). Любую точку параболы можно вычислить по формулам перехода к новой прямоугольной системе координат Х1О1У1 по формулам: x1=x+ay1=y+b , где a=712, b=1 или x1=x+712y1=y+1 . Тогда в новой прямоугольной системе координат Х1О1У1 уравнение данной параболы примет вид: y12=-3x1-912. В системе координат Х1О1У1 вершина параболы y12=-3x1-912 находится в точке О1912;0, ветви параболы направлены влево, ось симметрии совпадает с осью О1У1, параметр р1=р=32 . Теперь можно уравнение параболы y12=-3x1-912 из прямоугольной системе координат Х1О1У1 перевести в полярную систему координат, где начало прямоугольной системы координат будет совпадать с полярным полюсом, а положительно направленная полуось О1Х1 совпадать с полярной осью.
Воспользуемся формулами перехода: x1=rcosφy1=rsinφ где r – полярный радиус.
y12=-3x1-912 ⇒ y12=-3x1+94,
rsinφ2=-3rcosφ+94,
r2sin2φ=-3rcosφ+94, используем формулу cos2φ+sin2φ=1, sin2φ=1-cos2φ,
r21-cos2φ=-3rcosφ+94,
r2-r2cos2φ=-3rcosφ+94 ,
r2=r2cos2φ-2∙32∙rcosφ+322, используем формулу a2-2ab+b2=a-b2,
r2=rcosφ-322,
r=±rcosφ-32, так как r>0, то
r=-rcosφ-32,
r=-rcosφ+32,
r+rcosφ=32,
r∙1+cosφ=32,
r=321+cosφ - уравнение заданной параболы в полярных координатах.
Найдем область определения полученной функции:
21+cosφ≠0 ⇒ 1+cosφ≠0 ⇒ cosφ≠-1 ⇒ φ≠π+2πn,n∈Z.
Для построения линии в полярной системе координат составим таблицу значений полярного радиуса r при определенных значениях полярного угла φ:
φ
cosφ
1+cosφ
21+cosφ
r=321+cosφ
1 0 1 2 4 0,75
2 π8
0,9239 1,9239 3,8478 0,78
3 2π8=π4
0,707 1,707 3,414 0,879
4 3π8
0,3827 1,3827 2,7654 1,085
5 4π8=π2
0 1 2 1,5
6 5π8
-0,3827 0,617 1,2346 2,43
7 6π8=3π4
-0,707 0,293 0,586 5,12
8 7π8
-0,9239 0,0761 0,1522 19,7
9 8π8=π
--- --- --- ---
10 9π8
-0,9239 0,0761 0,1522 19,7
11 10π8
-0,707 0,293 0,586 5,12
12 11π8
-0,3827 0,617 1,2346 2,43
13 12π8=3π2
0 1 2 1,5
14 13π8
0,3827 1,3827 2,7654 1,085
15 14π8=7π4
0,707 1,707 3,414 0,879
16 15π8
0,9239 1,9239 3,8478 0,78
17 16π8=2π
1 2 4 0,75
По полученным точкам, построим график r=321+cosφ в полярной системе координат:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
