Линейные электрические цепи постоянного тока

1. Упростить схему.
Произвольно направляем токи в ветвях. Заменим источник тока на источник ЭДС:
EA=-E2+J2R2=-31,8+0,4∙195=-46,2 В
Упростить схему, заменив последовательно и параллельно соединенные резисторы эквивалентными:
R4=R4'+R4''=10+5=15 Ом
R6=R6'∙R6''R6'+R6''=36∙1236+12=9 Ом
Схема после преобразований примет вид, показанный на рис. 1.2:
Рис. 1.2
2. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений.
Производим анализ схемы: количество узлов n=4; количество ветвей k=6. По 1-му закону Кирхгофа составляем yI=n-1=3 уравнения, по 2-му закону Кирхгофа составляем yII=k-yI=3 уравнения:
-I1+I3-I5=0aI2-I4+I5=0bI1-I2-I6=0c-I3R3-I4R4-I5R5=-E311I1R1+I3R3+I6R6=E322-I1R1-I2R2+I5R5=-EA33
3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Составляем систему из yII=3 уравнений по методу контурных токов:
I11R3+R4+R5-I22R3-I33R5=-E3-I11R3+I22R1+R3+R6-I33R1=E3-I11R5-I22R1+I33R1+R2+R5=-EA
Подставим в полученную систему числовые значения:
I1113,5+15+7,5-13,5I22-7,5I33=-15-13,5I11+I226+13,5+9-6I33=15-7,5I11-6I22+I336+195+7,5=-46,2
36I11-13,5I22-7,5I33=-15-13,5I11+28,5I22-6I33=15-7,5I11-6I22+208,5I33=-46,2
Решая полученную систему методом Крамера, определяем контурные токи:
Δ=36-13,5-7,5-13,528,5-6-7,5-6208,5=36∙28,5∙208,5-13,5∙-6∙-7,5-7,5∙-13,5∙-6--7,5∙28,5∙-7,5-36∙-6∙-6--13,5∙-13,5∙208,5=171807,75
Δ1=-15-13,5-7,51528,5-6-46,2-6208,5=-15∙28,5∙208,5+15∙-6∙-7,5-46,2∙-13,5∙-6--46,2∙28,5∙-7,5--15∙-6∙-6-15∙-13,5∙208,5=-59314,95
Δ2=36-15-7,5-13,515-6-7,5-46,2208,5=36∙15∙208,5-13,5∙-46,2∙-7,5-7,5∙-15∙-6--7,5∙15∙-7,5-36∙-46,2∙-6--13,5∙-15∙208,5=54193,05
Δ3=36-13,5-15-13,528,515-7,5-6-46,2=36∙28,5∙-46,2-13,5∙-6∙-15-7,5∙-13,5∙15--7,5∙28,5∙-15-36∙-6∙15--13,5∙-13,5∙-46,2=-38643,75
I11=Δ1Δ=-59314,95171807,75=-0,345 А
I22=Δ2Δ=54193,05171807,75=0,315 А
I33=Δ3Δ=-38643,75171807,75=-0,225 А
По найденным контурным токам определяем значения токов в ветвях:
I1=I22-I33=0,315--0,225=0,54 А
I2=-I33=--0,225=0,225 А
I3=-I11+I22=--0,345+0,315=0,661 А
I4=-I11=--0,345=0,345 А
I5=-I11+I33=--0,345-0,225=0,12 А
I6=I22=0,315 А
4 . Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Принимаем потенциал узла d равным нулю:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему из yI=3 уравнений по методу узловых потенциалов:
φa1R1+1R3+1R5-φb1R5-φc1R1=E3R3-φa1R5+φb1R2+1R4+1R5-φc1R2=EAR2-φa1R1-φb1R2+φc1R1+1R2+1R6=-EAR2
Подставим в полученную систему числовые значения:
φa16+113,5+17,5-φb17,5-φc16=1513,5-φa17,5+φb1195+115+17,5-φc1195=46,2195-φa16-φb1195+φc16+1195+19=-46,2195
0,374φa-0,133φb-0,167φc=1,111-0,133φa+0,205φb-0,005φc=0,237-0,167φa-0,005φb+0,283φc=-0,237
Решая полученную систему методом Крамера, определяем узловые потенциалы:
Δ=0,374-0,133-0,167-0,1330,205-0,005-0,167-0,0050,283=0,374∙0,205∙0,283-0,133∙-0,005∙-0,167-0,167∙-0,133∙-0,005--0,167∙0,205∙-0,167-0,374∙-0,005∙-0,005--0,133∙-0,133∙0,283=10,743∙10-3
Δ1=1,111-0,133-0,1670,2370,205-0,005-0,237-0,0050,283=1,111∙0,205∙0,283+0,237∙-0,005∙-0,167-0,237∙-0,133∙-0,005--0,237∙0,205∙-0,167-1,111∙-0,005∙-0,005-0,237∙-0,133∙0,283=65,328∙10-3
Δ2=0,3741,111-0,167-0,1330,237-0,005-0,167-0,2370,283=0,374∙0,237∙0,283-0,133∙-0,237∙-0,167-0,167∙1,111∙-0,005--0,167∙0,237∙-0,167-0,374∙-0,237∙-0,005--0,133∙1,111∙0,283=55,634∙10-3
Δ3=0,374-0,1331,111-0,1330,2050,237-0,167-0,005-0,237=0,374∙0,205∙-0,237-0,133∙0,237∙1,111-0,167∙-0,133∙-0,005--0,167∙0,205∙1,111-0,374∙-0,005∙0,237--0,133∙-0,133∙-0,237=30,498∙10-3
φa=Δ1Δ=65,328∙10-310,743∙10-3=6,081 В
φb=Δ2Δ=55,634∙10-310,743∙10-3=5,179 В
φc=Δ3Δ=30,498∙10-310,743∙10-3=2,839 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φa-φcR1=6,081-2,8396=0,54 А
I2=φc-φb+EAR2=2,839-5,179+46,2195=0,225 А
I3=φd-φa+E3R3=0-6,081+1513,5=0,661 А
I4=φb-φdR4=5,179-015=0,345 А
I5=φa-φbR5=6,081-5,1797,5=0,12 А
I6=φc-φdR6=2,839-09=0,315 А
5