Линейное программирование
(решение можно проводить либо графическим методом, либо с использованием компьютера в программе MS Excel).
x1+2x2≤4 2x1+x2≤55x1+x2≤10x1≥0, x2≥0
Zx=3x1+2x2→max
Решим задачу графически
Введем систему декартовых координат на плоскости x1О x2, и построим области, описываемые системой ограничений.
Каждое неравенство определяет полупрлоскость с границей , задаваемой прямой. Множество решений системы есть пересечение полуплоскостей.
Выпишем систему соответствующих граничных прямых
x1+2x2=4 (1)
2x1+x2=5 (2)
5x1+x2=10 (3)
Многоугольник OАВC - область решения задачи
Построим прямую, отвечающую значению функции Z=0
Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Будем перемещать эту прямую параллельным образом в направлении вектора С(3,2). Так как нас интересует максимальное решение, двигаем прямую до последнего касания обозначенной плоскости.
Прямая Zmax последней покидает область в точке B, значит, в точке B максимальное значение целевой функции. Найдем координаты точки B как точки пересечения прямых (1) и (3)
x1+2x2=4
5x1+x2=10
x1=169
x2=109
Zx=3*169+2*109=689→max
Анализ временных рядов.
(15 баллов)
Дан временной ряд, характеризующий динамику издержек некоторой продукции
год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
продукция
239 201 297 324 278 257 384 401 360 335 462 481 479 483 456
Определить оптимальный тренд и рассчитать точечный прогноз на последующие пять лет. Проверить модель на значимость.
Решение
Расчетная таблица
t
yt
t2
y2
ty
yiТ
(yi-y)2
1 239 1 57121 239 226,642 15244,018 152,728
2 201 4 40401 402 246,045 26071,484 2029,073
3 297 9 88209 891 265,449 4285,884 995,478
4 324 16 104976 1296 284,852 1479,684 1532,536
5 278 25 77284 1390 304,256 7134,618 689,375
6 257 36 66049 1542 323,660 11123,218 4443,492
7 384 49 147456 2688 343,063 463,684 1675,830
8 401 64 160801 3208 362,467 1484,818 1484,818
9 360 81 129600 3240 381,870 6,084 478,307
10 335 100 112225 3350 401,274 754,418 4392,218
11 462 121 213444 5082 420,677 9906,884 1707,559
12 481 144 231361 5772 440,081 14050,151 1674,368
13 479 169 229441 6227 459,485 13580,018 380,854
14 483 196 233289 6762 478,888 14528,284 16,908
15 456 225 207936 6840 498,292 8748,484 1788,585
Сумма 120 5437 1240 2099593 48929 5437,000 128861,733 23442,130
Вычислим коэффициенты линейной регрессии по формулам:
a1=nyiti-yitinti2-ti2
a0=1nyi-a1t
a1=15⋅48929-5437⋅12015⋅1240-120*120=19,40;
a0=115⋅5437-19,40*120=207,27
Регрессионная модель имеет вид:
yТ=a0 +a1 t=207,24+19,4t
Построим уравнение регрессии:
Вычислим коэффициент детерминации по формуле:
R2=1-i=1n(yiТ-y)2i=1n(yi-y)2
R2=1-23442,13128861,733=0,818
Проведем проверку значимости по F-критерию Фишера:
Fрасч=R21-R2*n-m-1m
Fрасч=0,8181-0,81815-1-11=58,43
Находим из таблицы Fкр (1;13;0,05) = 4,67
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Так как Fрасч > Fкр, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим.
Точечный прогноз на последующие 5 лет:
у16=207,24+19,4*16=517,695
у17=207,24+19,4*17=537,099
у18=207,24+19,4*18=556,502
у19=207,24+19,4*19=575,906
у20=207,24+19,4*20=595,310
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
