Линейное программирование
(решение можно проводить либо графическим методом, либо с использованием компьютера в программе MS Excel).
2x1+x2≤10 x1+2x2≤8x1+x2≤6x1≥0, x2≥0
Zx=3x1+2x2→max
Решим задачу графически
Введем систему декартовых координат на плоскости x1О x2, и построим области, описываемые системой ограничений.
Каждое неравенство определяет полупрлоскость с границей , задаваемой прямой. Множество решений системы есть пересечение полуплоскостей.
Выпишем систему соответствующих граничных прямых
2x1+x2=10 (1)
x1+2x2=8 (2)
x1+x2=6 (3)
Многоугольник OАВC - область решения задачи
Построим прямую, отвечающую значению функции Z=0
Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Будем перемещать эту прямую параллельным образом в направлении вектора С(3,2). Так как нас интересует максимальное решение, двигаем прямую до последнего касания обозначенной плоскости.
Прямая Zmax последней покидает область в точке B, значит, в точке B максимальное значение целевой функции. Найдем координаты точки B как точки пересечения прямых (2) и (3)
x1+2x2=8
x1+x2=6
x1=4
x2=2
Zx=3*4+2*2=16→max
Анализ временных рядов.
(15 баллов)
Дан временной ряд, характеризующий динамику издержек некоторой продукции
год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
продукция
40 82 97 24 78 57 84 41 60 35 35 48 47 48 56
Определить оптимальный тренд и рассчитать точечный прогноз на последующие пять лет. Проверить модель на значимость.
Решение
Расчетная таблица
t
yt
t2
y2
ty
yiТ
(yi-y)2
1 40 1 1600 40 66,542 239,218 704,460
2 82 4 6724 164 64,960 704,018 290,378
3 97 9 9409 291 63,377 1725,018 1130,481
4 24 16 576 96 61,795 990,151 1428,480
5 78 25 6084 390 60,213 507,751 316,374
6 57 36 3249 342 58,631 2,351 2,660
7 84 49 7056 588 57,049 814,151 726,367
8 41 64 1681 328 55,467 209,284 209,284
9 60 81 3600 540 53,885 20,551 37,399
10 35 100 1225 350 52,302 418,884 299,372
11 35 121 1225 385 50,720 418,884 247,126
12 48 144 2304 576 49,138 55,751 1,295
13 47 169 2209 611 47,556 71,684 0,309
14 48 196 2304 672 45,974 55,751 4,105
15 56 225 3136 840 44,392 0,284 134,753
Сумма 120 832 1240 52382 6213 832,000 6233,733 5532,844
Вычислим коэффициенты линейной регрессии по формулам:
a1=nyiti-yitinti2-ti2
a0=1nyi-a1t
a1=15⋅6213-832⋅12015⋅1240-120*120=-1,58;
a0=115⋅832--1,58*120=68,11.
Регрессионная модель имеет вид:
yТ=a0 +a1 t=68,11-1,58t
Построим уравнение регрессии:
Вычислим коэффициент детерминации по формуле:
R2=1-i=1n(yiТ-y)2i=1n(yi-y)2
R2=1-5532,8446233,733=0,1124
Проведем проверку значимости по F-критерию Фишера:
Fрасч=R21-R2*n-m-1m
Fрасч=0,11241-0,112415-1-11=1,646
Находим из таблицы Fкр (1;13;0,05) = 4,67
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Так как Fрасч < Fкр, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим.
Точечный прогноз на последующие 5 лет:
у16=68,11-1,58*16=42,81
у17=68,11-1,58*17=41,227
у18=68,11-1,58*18=39,645
у19=68,11-1,58*19=38,063
у20=68,11-1,58*20=39,481
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
