Линейная множественная регрессия. Построить требуемое уравнение регрессии. Вычислить коэффициент детерминации, частные коэффициенты эластичности, частные бета коэффициенты и дать их смысловую нагрузку в терминах задачи. Проверить адекватность уравнения с помощью F теста. Найти оценку матрицы ковариации оценок параметров регрессии и 95% доверительные интервалы для параметров регрессии. Проверить наличие мультиколлинеарности в модели. Данные взять из таблицы.
Построить уравнение линейной регрессии себестоимости единицы товара (в сотнях руб.) от количества вложенных в производство средств (млн. руб.) и производительности труда (дет/час).
Энерговооруженность 79 96 87,1 77 57,5 88,5 97,8
Производительность труда 17 16,5 16 18,5 14,1 17,4 18,3
Себестоимость 16,5 18,6 19 20,4 17 18 15,1
Решение
Искомое уравнение имеет вид Y=θ0+θ1X1+θ2X2. По смыслу задания имеем, что Y – себестоимость, X1 – количества вложенных в производство средств (энерговооруженность), X2 – производительность труда. n=7, k=2. Введем в рассмотрение матрицы
Y=16,518,61920,4171815,1, θ=θ0θ1θ2, X=1791719616,5187,11617718,5157,514,1188,517,4197,818,3
Тогда матрица XTX примет вид
XTX=7582,9117,8582,949675,89885,49117,89885,491995,96
обратная к ней равна
XTX-1=21,2144980,015832-1,3304770,0158320,00141-0,007916-1,330477-0,0079160,118231
отсюда оценка вектора параметров модели примет вид
θ=XTX-1XTY=16,002363-0,0285070,247878
В результате искомое уравнение имеет вид Y=16,002363-0,028507X1+0,247878X2.
Найдем векторы прогноза и остатков регрессии
Y=Xθ=17,96425817,35570517,48547518,39308817,85830617,79259517,750573, e=Y-Y=-1,4642581,2442951,5145252,006912-0,8583060,207405-2,650573
Отсюда находим, что eTe=17,819044, и оценка дисперсии ошибок регрессии равна S2=eTen-k+1=4,454761.
Находя средние величины каждой переменной, получим Y=17,8, X1=83,2714, X2=16,8286.
Матрица y примет вид y=-1,30,81,22,6-0,80,2-2,7
. Тогда yTy=18,5.
Вычисляя коэффициент детерминации, получим
R2=1-eTeyTy=0,0368
это показывает, что изменение себестоимости единицы товара на 3,68% зависит от изменения количества вложенных в производство средств и производительности труда, действующих в совокупности.
Находя частные коэффициенты эластичности, получим
EYX1=θ1X1Y=-0,1334
это показывает, что при изменении количества вложенных в производство средств на 1% (при неизменной производительности труда) себестоимость единицы товара изменится на -0,1334%.
EYX2=θ2X2Y=0,2344
это показывает, что при изменении производительности труда на 1% (при неизменном количестве вложенных в производство средств) себестоимость единицы товара изменится на 0,2344%.
Находя средне квадратические отклонения переменных получим σY=1,6257, σX1=12,7438, σX2=1,3915.
Частные бета коэффициенты
βYX1=θ1σX1σY=-0,2235
это показывает, что при изменении разброса количества вложенных в производство средств на единицы (при неизменной производительности труда) разброс себестоимости изменится на -0,2235 от 1,6257, то есть на βYX1∙σY=-0,2235∙1,6257=-0,3633 сотен руб.
βYX2=θ2σX2σY=0,2122
это показывает, что при изменении разброса производительности труда на единицы (при неизменном количестве вложенных в производство средств) разброс себестоимости изменится на 0,2122 от 1,6257, то есть на βYX2∙σY=0,2122∙1,6257=0,3449 сотен руб.
Проверка адекватности построенного уравнения проведем с помощью F теста проверки гипотезы H0: θ1=θ2=0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
