Левая грань пластины (x=0) теплоизолирована на правой x=3 поддерживаются нулевая температура

Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut'=αuxx'',
ut'=2uxx'', 0<x<3, t>0,
(1)
граничным условиям
uxx=0=0; ux=3=0,
(2)
и начальному условию
ut=0=φx=0, при 0<x≤3/2T0=7, при 3/2<x<3.,
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' t=2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 2Xx∙T(t)
T'(t)2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X'0⋅Tt=0, X3⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, X3=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'0=0, X3=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=C1λsinλx+C2λ cosλx
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'(0)=C2λ=0, ⟹ C2=0X(3)=C1 cos3λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cos3λ=0,
3λ=π2+πk, k=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=π2k+162, k=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=cosπ(2k+1)x6, k=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk'(t)+2π(2k+1)62Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake- 2k+12π2t18.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=k=0∞TktXkx=k=0∞Ake- 2k+12π2t18cosπ(2k+1)x6.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (3)
ut=0=k=0∞Ak cosπ(2k+1)x6=φx.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье по собственным функциям cosπ(2k+1)x6k=0∞
Ak=2303φxcosπ(2k+1)x6dx=233/237cosπ(2k+1)x6dx=
=143∙6π2k+1sinπ2k+1x63/23=28π2k+1sinπ2k+12-sinπ2k+14=
=28π2k+1-1k-sinπ2k+14.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=0∞28π2k+1-1k-sinπ2k+14e- 2k+12π2t18cosπ(2k+1)x6.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=28πk=0∞-1k-sinπ2k+142k+1e- 2k+12π2t18cosπ(2k+1)x6.