Конденсатор емкостью С соединенный последовательно с сопротивлением R

Рис.1 Расчетная схема
При включении конденсатора на постоянное напряжение (рис. 1) в цепи возникает переходной электрический ток, пластины конденсатора начинают заряжаться.
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений в цепи заряда конденсатора
uR+uC=U;
или iCR+uC=U;
запишем дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе
iC=CduCdt
CduCdt∙R+uC=U;
duCdt+1RCuC=URC; (1)
Решение дифференциального уравнения (1) в общем виде есть сумма свободной и принужденной составляющих напряжения
uCt=uсвt+uCпр;
Свободную составляющую напряжения uCсв(t) находим, решая однородное дифференциальное уравнение
duCсвdt+1RCuCсв=0;
которому соответствует характеристическое уравнение
Корень характеристического уравнения
Тогда свободная составляющая напряжения
uCсв=A∙ept=Ae-1RC=A∙e-t/τ
где τ = RC – постоянная времени цепи.
Свободная составляющая напряжения с течением времени стремится по экспоненте к нулю . То есть
Тогда напряжение на конденсаторе
установившийся режим после коммутации.
Принужденную составляющую напряжения uCпр находим из (1) при установившемся режиме цепи
duCdt+1RCuC=URC;
uCпр=U;
Получили для напряжения на конденсаторе
uCt=uсвt+uCпр=A∙e-tτ+U; (2)
Постоянную интегрирования А находим из (2) с учетом второго закона коммутации (предполагаем в начальный момент времени конденсатор был не заряжен)
Откуда при t = 0
Следовательно, напряжение на конденсаторе в переходном режиме заряда конденсатора
uCt=U∙1-e-t/τ; (3)
ток iC=CduCdt=UR∙e-t/τ; (4)
где τ = RC=5000∙70∙10-6=0,35с – постоянная времени цепи, характеризующая время переходного процесса в цепи.
В первый момент ток конденсатора (4) от нулевого значения скачком возрастает до значения iC(0) = U/R=110/5000=0,022A=22мА, затем начинает уменьшаться по экспоненциальному закону до нуля.
Напряжение на конденсаторе (3) изменяется по возрастающей экспоненте от нуля до значения U.
29146533913838743953137535U/R
00U/R
11474453603625iC(t)
00iC(t)
3761740911860uC(t)
00uC(t)
12235204272691465330375199100
τ
Рис.1.1 Графики тока и напряжения при зарядке конденсатора на постоянное напряжение
В момент коммутации (рис.1.1) кривая тока делает скачок от нулевого значения до максимального iC(0) = U/R (как бы «сопротивление» незаряженного конденсатора при t = 0 равно нулю), а напряжение uС остается в первый момент времени неизменным (по второму закону коммутации).