Кинематика точки.
Даны уравнения движения (Уравн.2):
x = 2– 6sin(πt/3), y = 3cos(πt/3) – 1 (2)
(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).
Определить в момент времени t1 = 1 с:
1) траекторию точки, считая, что движение начинается в момент времени t0 = 0; изобразить её на чертеже и показать положение точки на траектории в момент времени t1;
2) скорость и ускорение точки; изобразить их на чертеже;
3) касательное и нормальное ускорения точки; изобразить их на чертеже; радиус кривизны траектории.
Решение
1. Из равенств (Уравн.2) видно, что –4 ≤ x ≤ 8; –4 ≤ y ≤ 2.
Для определения уравнения траектории точки исключим из уравнений движения время t. Для этого из уравнений движения находим sin(πt/3), cos(πt/3) и, пользуясь основным тригонометрическим тождеством
sin²α + cos²α = 1,
получим уравнение эллипса
x-x02a2+y-y02b2=1x-2236+y+129=1.
Следовательно, точка М движется по эллипсу с центром О1 (2;-1) и полуосями a = 6, b = 3 (рисунок 8).
В момент времени t1 = 1 с точка займёт положение М1 (x = -3,2; y = 0,5), указанное на чертеже. В начальный момент времени (t0 = 0) точка занимала
положение М0 (x = 2; y = 2).
Все остальные требуемые величины определяются аналогично, как и в предыдущей задаче.
2. Скорость точки найдём по её проекциям на координатные оси, используя уравнения (Уравн.2):
νx=ddt2-6sinπt/3=-2πcosπt3;
νy=ddt3cosπt/3-1=-πsinπt3;
при t1=1 c; ν1x=-3.14смс; ν1y=-2.23cмc;
ν1=ν1x2+ν1y2=3.85 см/с
Вектор ν1 направлен по касательной к траектории в точке M1. Направление ν1, кроме того, можно найти на направляющим косинусам:
cos(ν1, i)= =ν1xν1=-0.82; cos(ν1, j)=ν1yν1=-0.58.
3
. Аналогично найдем ускорение точки. Проекции ускорения точки на оси координат:
ax=ddt-2πcosπt/3=2π23sinπt/3);
ay=ddt-πsinπt/3=-π23cosπt/3);
при t1=1 c; a1x=5.69смc2; a1y=-1.64cмc2;
a1=a1x2+a1y2=5.92 см/c2
Направление вектора ускорения а1 определяем по направляющим косинусам
cos(a1, i)= =axa1=0.96; cos(a1, j)=aya1=-0.28,
или построением вектора a1 по составляющим a1x и a1y.
4. Определяем касательное ускорение точки при t1=1 c:
a1τ=dνdt=ν1xa1x+ν1ya1yν1=-3.14*5.69+-2.23*(-1.64)3.85=-3.69 см/с2
Касательное ускорение отрицательно и направлено в сторону, противоположную направлению движения, см. рисунок 9.
5. Нормальное ускорение a1n определяем по формуле a1n=a12- a1τ2 , при
t1=1 c,
a1n=5,922-3,692=4,63см/с2
Нормальное ускорение перпендикулярно касательному и направлено внутрь траектории движения, т.е. по нормали n.
6. Найдем величину радиуса кривизны траектории в точке M1:
ρ=ν12a1n=3,8524,63=3,2 см.
Производим перерасчёт задачи, поменяв уравнения движения, заданные в начале задачи (Уравн.2).
Вариант №3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
