Какой минимальной скоростью vmin должен обладать протон

Энергия системы шар-протон на расстоянии а:
Па=eQ4πε0a
где е — заряд протона, Q — заряд шара, а — расстояние между центром шара и протоном.
Потенциал шара
φ=Q4πε0R
откуда
Q = 4πε0Rφ,
где R — радиус шара.
Потенциальная энергия протона на расстоянии R и 4R от центра шара равна
ПR=eQ4πε0R П4R=eQ4πε0⋅4R
Кинетическая энергия протона на расстоянии R и 4R от центра шара:
ТR = 0,
так как дойдя до поверхности шара, протон должен потерять всю кинетическую энергию;
Т4R = mv2/2.
По закону сохранения энергии
TR+ПR = T4R+П4R
0+e⋅4πε0Rφ4πε0R=mv22+e⋅4πε0Rφ4πε0⋅4R
откуда
mv22=eφ-eφ4=3eφ4;
v=3eφ2m
С учётом начальных данных:
v=3⋅1,6⋅10-19⋅14002⋅1,672⋅10-27=448⋅103 м/с=448 км/с
Ответ: vmin = 448 км/с.