К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис. 4, III). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец — свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца.
Исходные данные
а = 1,6м; b = 1,6м; c = 1,6м; T1= 5,7 кН·м; T2= 2,7 кН·м; T3= 1,7 кН·м; T4= 0,7 кН·м;
[𝜏] = 45 МПа, Е = 2·105 МПа.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов по длине вала;
2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность, полученные значения округлить;
3) построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала;
4) построить эпюру углов закручивания, приняв G ≈ 0,4E = 0,8·105 МПа.
Рис.4.III
Решение
Определяем реактивный момент в жесткой заделке О. Для чего составляем уравнение равновесия в виде:
ΣМZ = 0, Т4 + Т3 - Т2 +Т1 - Т0 = 0, ⇒ Т0 = Т4 +Т3 -Т2 +Т1 = 0,7 +1,7 - 2,7 + 5,7 = 5,4 кН·м
Разбиваем длину бруса на четыре силовых участка, в каждом из которых проводим сечения и рассматривая равновесие отсеченной части, определяем внутренние крутящие моменты.
Участок I (сечение 1-1):
Т4 - МК1 = 0, ⇒ МК1 = Т4 = 0,7 кН·м.
Участок II (сечение 2- 2):
МК2 = Т4 + Т3 = 0,7 + 1,7 = 2,4 кН·м.
Участок III (сечение 3- 3):
МК3 = Т4 + Т3 - Т2 = 2,4 - 2,7 = - 0,3 кН·м.
Участок IV (сечение 4- 4):
МК4 = Т4 + Т3 - Т2 + Т1 = - 0,3 + 5,7 = 5,4 кН·м. По полученным результатам строим эпюру крутящих моментов.
Условие прочности при кручении имеет следующий вид:
τmax = МКmax/WP ≤ [τ], где WP = π·d3/16 - полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения
. Из условия прочности находим диаметр вала:
d ≥ (16·МКmax/π·[τ])1/3.
На участках III и IV (диаметром d1), действует МКmax = МК4 = 5,4 кН·м
На участках I и II (диаметром d2), действует МКmax = МК2 = 2,4 кН·м, тогда:
d1 ≥ (16·МК4/π·[τ])1/3 = (16·5,4·103/3,14·45·106) 1/3 = 84,9·10-3 м = 84,9 мм, принимаем d1 = 85 мм = 0,085 м.
d2 ≥ (16·МК2/π·[τ])1/3 = (16·2,4·103/3,14·45·106) 1/3 = 64,8·10-3 м = 64,8 мм, принимаем d2 = 65 мм = 0,065 м.
Рис.4.III.1 Схема бруса и эпюры.
Определяем полярные моменты сопротивлений и инерций валов участков с определенными диаметрами:
WP3 = WP4 = π·d13/16 = 3,14·(8,5·10-2)3/16 = 120,5·10-6 м3
WP1 = WP2 = π·d23/16 = 3,14·(6,5·10-2)3/16 = 53,9·10-6 м3
JP3 = JP4 = π·d14/32 = 3,14·(8,5·10-2)4/32 = 512,2·10-8 м4
JP1 = JP2 = π·d24/32 = 3,14·(6,5·10-2)4/32 = 175,2·10-8 м4.
Определяем максимальные касательные напряжения на каждом из участков.
τ1 = МК1/WP1 = 0,7·103/53,9·10-6 = 12,99·106 Н/м2 = 12,99 МПа.
τ2 = МК2/WP2 = 2,4·103/53,9·10-6 = 44,53 МПа.
τ3 = МК3/WP3 = - 0,3·103/120,5·10-6 = - 2,49 МПа.
τ4 = МК4/WP4 = 5,4·103/120,5·10-6 = 44,81 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
