К городскому налоговому инспектору приходят клиенты с из трех районов города с интенсивностями λ1=1,51час, λ2=21час, λ3=0,751час. Среднее время обслуживания инспектором клиентов равняется 10 минут. Определить основные параметры СМО. Как они изменятся, если инспектор будет работать с прохладцей и станет обслуживать клиентов в среднем не 10 минут, а на 2,5 минуты дольше. Определить основные параметры СМО в обоих режимах работы инспектора в том случае, когда поток клиентов из третьего района города отсутствует.
Решение
Имеем одноканальную СМО с ожиданием.
Определим основные параметры СМО при исходных значениях параметров.
Находим интенсивность входного потока клиентов:
λ=iλi=1,5+2+0,75=4,25
Вычисляем нагрузку на СМО (интенсивность прихода клиентов переводим в минуты):
ρ=λv=4,2560∙10≈0,7083
Тогда вероятность отсутствия клиентов:
P0=1-ρ=1-0,7083=0,2917
И основные характеристики работы:
- относительная пропускная способность для СМО с ожиданием:
Q=1
- абсолютная пропускная способность:
A=λ=4,25 (клиента в час)
- загрузка прибора (занятость налогового инспектора):
k=ρ=0,7083
- средняя длина очереди:
l=ρ21-ρ=0,708321-0,7083≈1,7199клиента
- среднее число заявок в системе (число клиентов инспектора в налоговой):
m=ρ1-ρ=0,70831-0,7083≈2,4282(клиента)
- среднее время ожидания:
w=lλ=1,71994,2560≈24,2809мин
- среднее время пребывания клиента в налоговой:
u=w+v=24,2809+10=34,2809мин
Определим те же показатели работы, если инспектор будет работать с прохладцей и станет обслуживать клиентов в среднем не 10 минут, а на 2,5 минуты дольше.
Тогда нагрузка на СМО составит:
ρ=λv=4,2560∙12,5≈0,8854
Вероятность отсутствия клиентов:
P0=1-ρ=1-0,8854=0,1246
И основные характеристики работы (пропускные способности не меняются):
- занятость налогового инспектора:
k=ρ=0,8854
- средняя длина очереди:
l=ρ21-ρ=0,885421-0,8854≈6,8406клиента
- среднее число клиентов инспектора в налоговой:
m=ρ1-ρ=0,88541-0,8854≈7,7260(клиента)
- среднее время ожидания:
w=lλ=6,84064,2560≈96,5732мин
- среднее время пребывания клиента в налоговой:
u=w+v=96,5732+12,5=109,0732мин
Теперь определим основные параметры СМО в обоих режимах работы инспектора в том случае, когда поток клиентов из третьего района города отсутствует
. Сначала для варианта со временем обслуживания инспектором клиентов равным 10 минутам.
Находим интенсивность входного потока клиентов, когда поток клиентов из третьего района города отсутствует:
λ=iλi=1,5+2=3,5
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ=λv=3,560∙10≈0,5833
Тогда вероятность отсутствия клиентов:
P0=1-ρ=1-0,5833=0,4167
И основные характеристики работы:
- относительная пропускная способность:
Q=1
- абсолютная пропускная способность:
A=λ=3,5 (клиента в час)
- занятость налогового инспектора:
k=ρ=0,5833
- средняя длина очереди:
l=ρ21-ρ=0,583321-0,5833≈0,8165клиента
- среднее число клиентов инспектора в налоговой:
m=ρ1-ρ=0,58331-0,5833≈1,3998(клиента)
- среднее время ожидания:
w=lλ=0,81653,560≈13,9971мин
- среднее время пребывания клиента в налоговой:
u=w+v=13,9971+10=23,9971мин
Определяем те же показатели работы, если инспектор будет обслуживать клиентов в среднем на 2,5 минуты дольше.
Тогда нагрузка на СМО составит:
ρ=λv=3,560∙12,5≈0,7292
Вероятность отсутствия клиентов:
P0=1-ρ=1-0,7292=0,2708
Тогда (пропускные способности не меняются):
- занятость налогового инспектора:
k=ρ=0,7292
- средняя длина очереди:
l=ρ21-ρ=0,729221-0,7292≈1,9636клиента
- среднее число клиентов инспектора в налоговой:
m=ρ1-ρ=0,72921-0,7292≈2,6928(клиента)
- среднее время ожидания:
w=lλ=1,96363,560≈33,6617мин
- среднее время пребывания клиента в налоговой:
u=w+v=33,6617+12,5=46,1617мин
Для наглядности представим результаты в виде таблицы:
3 района 2 района
tобсл=10 tобсл=12,5 tобсл=10 tобсл=12,5
Относительная пропускная способность 1 1 1 1
Абсолютная пропускная способность 4,25 4,25 3,5 3,5
Занятость налогового инспектора 0,7083 0,8854 0,5833 0,7292
Средняя длина очереди 1,7199 6,8406 0,8165 1,9636
Среднее число клиентов инспектора 2,4282 7,7260 1,3998 2,6928
Среднее время ожидания, мин 24,2809 96,5732 13,9971 33,6617
Среднее время пребывания, мин 34,2809 109,0732 23,9971 46,1617
Таким образом, при работе инспектора «с прохладцей» при потоке клиентов из трех районов очередь ожидания примет угрожающие размеры, тем самым среднее время пребывания клиентов в налоговой приблизится к двум часам
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
