Известны - результаты независимых наблюдений над случайной величиной Х.
Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала.
Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х. Указать моду М0.
По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,9.
19 52; 33; 38; 22; 28; 34; 39; 29; 21; 27; 31; 37; 32; 23; 33; 38; 28; 40; 46; 51; 44; 32; 36; 41; 29; 31; 56; 47; 50; 29; 38; 44; 31; 24; 49; 34; 32; 41; 47; 31; 42; 57; 28; 45; 25; 45; 21; 29; 50; 55.
Решение
Запишем значения результатов в порядке не убывания (возрастания) в виде вариационного ряда.
21 21 22 23 24 25 27 28 28 28
29 29 29 29 31 31 31 31 32 32
32 33 33 34 34 36 37 38 38 38
39 40 41 41 42 44 44 45 45 46
47 47 49 50 50 51 52 55 56 57
Объем выборки n = 50.
Размах варьирования: R=xmax –xmin= 57-21 = 36. Длину интервала (шаг) определим следующим образом:
H=R/6=36/6=6.
Начало первого интервала – xmin = 21.
Объединим в таблицу интервальный и дискретный вариационные ряды:
№ границы интервала середина интервала
хi1 частота интервала
ni
относительная частота
wi
Плотность относ. частоты
wi/h
1 21 – 27 24 7 0,14 0,0233
2 27 – 33 30 16 0,32 0,0533
3 33 – 39 36 8 0,16 0,0267
4 39 – 45 42 8 0,16 0,0267
5 45 – 51 48 7 0,14 0,0233
6 51 – 57 54 4 0,08 0,0133
∑
50 1
2.
Чтобы построить эмпирическую функцию распределения, вычислим накопленную относительную частоту:
№ середина интервала
хi1 относительная частота
wi
накопл
. относит. частота
wi*
1 24 0,14 0,14
2 30 0,32 0,46
3 36 0,16 0,62
4 42 0,16 0,78
5 48 0,14 0,92
6 54 0,08 1
1
Эмпирическая функция распределения имеет вид:
3.
Найдем несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
№ середина интервала
хi1 частота
ni
хi1· ni
(хi1)2· ni
1 24 7 168 4032
2 30 16 480 14400
3 36 8 288 10368
4 42 8 336 14112
5 48 7 336 16128
6 54 4 216 11664
∑
50 1824 70704
;
;
.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия –несмещенной оценкой.
Несмещенная оценка дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение
.
Мода – варианта, имеющая наибольшую частоту. В нашем случае Мо = 29; 31
4.
Проверим гипотезу о нормальном распределении СВ при помощи критерия Пирсона.
Найдем теоретические частоты:
№ хi
xi+1 zi
zi+1 Ф(zi) Ф(zi+1) рi
ni’
1 21 27 -1,68 -1,03 -0,4535 -0,3485 0,105 5,25
2 27 33 -1,03 -0,38 -0,3485 -0,148 0,2005 10,025
3 33 39 -0,38 0,27 -0,148 0,1064 0,2544 12,72
4 39 45 0,27 0,92 0,1064 0,3212 0,2148 10,74
5 45 51 0,92 1,57 0,3212 0,4418 0,1206 6,03
6 51 57 1,57 2,23 0,4418 0,4874 0,0456 2,28
Для вычисления значений zi использовали формулы , где ; s = 9,2.
рi = Ф(zi+1) - Ф(zi), где - интегральная функция Муавра-Лапласа.
Теоретические частоты находятся по формуле: ni’=n·рi .
Критерий Пирсона:
ni’ ni
ni- ni’
5,25 7 1,75 0,58
10,025 16 5,975 3,56
12,72 8 -4,72 1,75
10,74 8 -2,74 0,7
6,03 7 0,97 0,16
2,28 4 1,72 1,3
χ2расч.= 8,05
Число степеней свободы k = l – r -1, где l = 6 (число интервалов), r = 2 (для нормального распределения).
В нашем случае k = 3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
