Известны координаты в прямоугольной системе координат трех точек A1

3.1. Найдем координаты векторов AB, AC:
AB=x2-x1;y2-y1=(7-1;1-(-2))=6;3;
AC=(3-1;7-(-2))=2;9.
Найдем длины векторов AB, AC:
AB=x2+y2=62+32=36+9=45=35.
AC=22+92=4+81=85.
3.2. Вычислим скалярное произведение векторов AB, AC:
AB∙AC=x1∙x2+y1∙y2=6∙2+3∙9=12+27=39.
Угол φ между векторами AB и AC найдем по формуле:
cosφ =AB∙ACAB∙AC.
Подставим найденные значения в формулу и вычислим косинус угла φ:
cosφ =3935∙85=13425=13517≈0,63.
φ=arccos 0,63=50,9o.
3.3. Вычислим векторное произведение векторов AB, AC по формуле:
AB,AC=xAByABxACyAC.
Подставим в формулу координаты векторов AB и AC:
AB,AC=6329=54-6=48.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
S∆ABC=12AB,AC=12∙48=24 кв.ед.
3.4 . Вектора коллинеарны, если отношения их координат равны между собой: b=n∙a, т. е. AB+β∙AC=n∙BC.
Координаты векторов AB+β∙AC и BC равны:
AB+β∙AC=6;3+β∙2;9=6+2β;3+9β.
BC= (3-7;7-1)=-4;6.
Определять отношение между координатами векторов (n) будем по формуле:
n=AB+β∙ACBC.
Таким образом,получаем уравнение:
6+2β-4=3+9β-6;
Вычислим значение β:
3∙6+2β=2∙3+9β;
18+6β=6+18β;
6β-18β=6-18;
-12β=-12;
β=1.
Найдем координаты вектора AB+β∙AC при β=1:
AB+β∙AC=6;3+1∙2;9=8;12
Проверим, коллинеарны ли векторы AB-AC и BC:
n=AB-ACBC=8-4=12-6=-2.
Вектора AB+β∙AC и BC коллинеарны при β=1.
3.5