Известны данные 10%-го выборочного обследования сдачи ЕГЭ по русскому языку выпускниками школ города в 2007 году (таблица 1). Построить интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму и кумуляту. Вычислить числовые характеристики вариационного ряда (среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс). Определить с вероятностью 0,954 среднюю и предельную ошибку выборки для среднего балла и доли выпускников, имеющих оценку выше 60 баллов.
Таблица 1
Исходные данные
86 58 28 42 16 61 61 21 30 65 51 33 75 62 97 88 36 10 51 93
60 2 7 64 71 24 33 81 72 15 7 89 16 27 92 95 13 74 78 5
76 95 79 3 43 74 47 69 27 99 55 82 66 56 52 65 95 80 10 57
48 5 84 27 64 1 81 58 65 87 10 70 14 39 39 68 84 55 90 17
91 40 62 91 74 8 51 47 15 35 92 20 50 0 70 38 5 97 64 8
47 11 13 19 52 77 27 54 23 80 76 30 8 71 40 87 98 78 92 92
17 64 50 59 21 54 27 70 73 21 54 50 67 26 59 58 8 31 37 67
72 35 29 59 15 14 98 61 90 51 82 81 98 85 50 44 87 37 89 24
59 66 10 14 67 72 43 95 6 60 58 87 24 21 41 6 7 85 93 33
31 74 53 96 62 52 54 18 58 33 58 53 11 16 35 58 18 54 78 38
Решение
Построить интервальный вариационный ряд.
Произведем группировку значений, разбив изучаемую совокупность на группы с равными интервалами по количеству баллов.
Число групп определяем по формуле Стерджесса:
n = 1 + 3,322 · lgN,
где N – численная совокупность.
N= 1 + 3.322 · lg200 QUOTE n=1+3,322∙lg200 ≈9 (интервалов)
Размер интервала определяем по формуле:
h=xmax-xminm
где:
h – шаг интервала;
xmax – максимальное значение группировочного признака;
xmin – минимальное значение группировочного признака;
m – число групп.
xmax = 99; xmin = 0
h=99-09=11
Найдем границы интервалов.
Таблица 2
Номер интервала Нижняя граница Верхняя граница
1 0 11
2 11 22
3 22 33
4 33 44
5 44 55
6 55 66
7 66 77
8 77 88
9 88 99
Систематизируем данные по выпускникам школы в виде групповой таблицы, имеющей 9 групп с равными интервалами по величине полученного балла при сдаче ЕГЭ по русскому языку:
Таблица 3
Группировка выпускников по величине балла
№ группы Группы выпускников по значению балла Число выпускников
fi
Структура выпускников по полученному баллу, %
di =fifi∙100%
1 0 – 11 22 20/200·100 = 11
2 11 – 22 21 21/200·100 = 10,5
3 22 – 33 20 20/200 ·100 = 10
4 33 – 44 17 17/200 ·100 = 8,5
5 44 – 55 24 24/200 ·100 = 12
6 55 – 66 30 30/200 ·100 = 15
7 66 – 77 22 22/200 ·100 = 11
8 77 – 88 21 21/200 ·100 = 10,5
9 88 – 99 23 23/200 ·100=11,5
Итого 200 100,0
2. Построить гистограмму и кумуляту.
Построим гистограмму распределения частот (рис. 1).
Рис. 1.1 – Гистограмма распределения частот
Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат – накопленные частоты или накопленные относительные частоты.
Таблица 4
i
Группы выпускников по значению балла Середина
интервала
xi'=xiн+xiв2
Число выпускников
fi
Накопленная частота
Si
1 0 – 11 5,5 22 22
2 11 – 22 16,5 21 43
3 22 – 33 27,5 20 63
4 33 – 44 38,5 17 80
5 44 – 55 49,5 24 104
6 55 – 66 60,2 30 134
7 66 – 77 71,5 22 156
8 77 – 88 82,5 21 177
9 88 – 99 93,5 23 200
Итого
200
Рис. 1.2 – Кумулята баллов выпускников
3. Вычислить числовые характеристики вариационного ряда (среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс)
Таблица 5
Расчетная таблица
Номер
группы
i
Группы выпускников по значению балла Середина интервала, тыс
. руб. Количество выпускниковв группе (частота)
fi
xi'∙fi
Накопленная частота
Si
xi'-x2fi
1 2 3 4 5 6 7
1 0 – 11 5,5 22 121 22 45545,5
2 11 – 22 16,5 21 346,5 43 24995,25
3 22 – 33 27,5 20 550 63 11045
4 33 – 44 38,5 17 654,5 80 2656,25
5 44 – 55 49,5 24 1188 104 54
6 55 – 66 60,2 30 1806 134 2539,2
7 66 – 77 71,5 22 1573 156 9245,5
8 77 – 88 82,5 21 1732,5 177 20837,25
m=9 88 – 99 93,5 23 2150,5 200 41543,75
ВСЕГО - 200 10122
158461,7
Средний балл (среднее арифметическое взвешенное):
x=xififi
x= 10122200=50,61≈51 балл
2) Мода
Mo=xm0+h∙fmo-fmo-1(fmo-fmo-1)+(fmo-fmo+1)
где:
x0 – нижняя граница модального интервала;
h – разность между верхними и нижними границами модального интервала;
fmo-1– частота интервала, предшествующего модальному;
fmo – частота модального интервала;
fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Определим модальный интервал – интервал с наибольшим числом выпускников (частотой). Это это 6-й интервал, поскольку его частота составляет наибольшее значение – 30 выпускников.
Mо=55+11∙30-2430-24+30-22=60 баллов
3) Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по формуле:
Me=xme+h∙0,5Σfi-Sme-1fme
где x0- нижняя граница медианного интервала;
h – величина медианного интервала;
fi – частоты интервального ряда;
Sme-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;
fme – частота медианного интервала.
При вычислении медианы в интервальном ряду сначала находим медианный интервал, (т. е. содержащий медиану), для чего используем накопленные частоты или частости. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всего объема совокупности (200/2 = 100), т. е. в данном случае 5-й интервал (44 – 55)
Me=44+11⋅0,5⋅200-8024=53,2 ≈53 балла
4) Дисперсия:
σx2=1iхi-х2fifi=158461,7200=792,31
5) Среднее квадратическое отклонение:
σx=σx2=792,31=28,15 баллов
6) Асимметрия, эксцесс
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.
As=M3σ3
где M3 – центральный момент третьего порядка.
σ – среднеквадратическое отклонение.
M3=-592621,86200=-2963,1
As=-2963,128,153=-2963,122306,693=-0,133
Отрицательная величина указывает на наличие левосторонней асимметрии
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
