Известны x1,x2,…,xn- результаты независимых наблюдений над случайной величиной X.
1. Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала.
2. Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
3. Найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины X. Указать моду M0.
4. По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет нормальный закон распределения.
5. Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X с уровнем доверия γ=0,9 .
61,2;61,4;60,4;61,2;61,3;60,4;61,4;60,3;61,2;60,6;61,6;60,2;61,2;60,3;60,7;
60,9;61,2;60,5;61,0;61,4;61,1;60,9;61,5;61,4;60,6;61,2;60,1;61,3;61,1;61,3;
60,3;61,3;60,6;61,7;60,6;61,2;60,5;60,8;61,3;61,0;61,2;61,4;60,7;61,3;60,9;
61,2;61,1;61,3;60,9;61,4.
Решение
Составим вариационный ряд, записывая исходные данные в порядке возрастания
xi
60,1
60,2
60,3
60,4
60,5
60,6
60,7
60,8
60,9
61,0
61,1
61,2
61,3
61,4
61,5
61,6
61,7
mi
1 1 3 2 2 4 2 1 4 2 3 9 7 6 1 1 1
Размах варьирования:
R=xmax-xmin=61,7-60,1=1,6 .
Число интервалов k рекомендуется брать из условия 2k-1~n. В нашем случае n = 50 и k-1=6→k=7. Теперь найдём длину интервала
h=xmax-xmink=1,67≈0,23.
Найдём границы интервалов группировки x0=xmin, xi=x0+ih, i=1,…k:
x0=60,1, x1=60,33, x2=60,56, x3=60,79, x4=61,02, x5=61,25,
x6=61,48, x7=61,7.
Тогда искомая таблица группировки имеет вид имеет вид:
№ Интервал численность ni
nin
ninh
1inin
1 [60,1-60,33) 5 0,1 0,43 0,1
2 [60,33-60,56) 4 0,08 0,35 0,18
3 [60,56-60,79) 6 0,12 0,52 0,3
4 [60,79-61,02) 7 0,14 0,6 0,44
5 [61,02-61,25) 12 0,24 1,04 0,68
6 [61,25-61,48) 13 0,26 1,13 0,94
7 [61,48-61,7) 3 0,06 0,26 1
2) Построим гистограмму
0-1561465
Теперь соединим центры этих прямоугольников и получим полигон частот (синий цвет)
0323215
Эмпирическая функция распределения:
Fnx=0, при x<60,10,02 , при 60,1≤x<60,20,04 , при 60,2≤x<60,30,1 , при 60,3≤x<60,40,14 , при 60,4≤x<60,50,18 , при 60,5≤x<60,60,26 , при 60,6≤x<60,70,3 , при 60,7≤x<60,80,32 , при 60,8≤x<60,90,4 , при 60,9≤x<61,00,44 , при 61,0≤x<61,10,5 , при 61,1≤x<61,20,68 , при 61,2≤x<61,30,82 , при 61,3≤x<61,40,94 , при 61,4≤x<61,50,96 , при 61,5≤x<61,60,98 , при 61,6≤x<61,71, при x≥61,7
Построим ее график
12422899
3) Вычислим выборочную среднюю, дисперсию и моду:
x=1ni=1nxini=(60,1∙1+60,2∙1+…)50=60,992.
Dx=1ni=1nxi2ni-x2=60,1∙12+60,2∙12+…50-60,9922=
=3720,2-3700=0,2.
Мода равна варианту, имеющему наибольшую частоту: M0=61,2.
Несмещенная оценка математического ожидания совпадает с выборочным средним.
Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле:
S2=nn-1Dx=50490,2≈0,2041
.
4) Вычислим параметры выборки. Составим расчетную таблицу:
xi
ni
xini
x-xi2ni
60,1 1 60,1 0,7957
60,2 1 60,2 0,6273
60,3 3 180,9 1,4366
60,4 2 120,8 0,7009
60,5 2 121 0,4841
60,6 4 242,4 0,6147
60,7 2 121,4 0,1705
60,8 1 60,8 0,0369
60,9 4 243,6 0,0339
61,0 2 122 0,0001
61,1 3 183,3 0,035
61,2 9 550,8 0,3894
61,3 7 429,1 0,664
61,4 6 368,4 0,9988
61,5 1 61,5 0,2581
61,6 1 61,6 0,3697
61,7 1 61,7 0,5013
Сумма 50 3049,6 8,1168
Выборочное среднее:
x=60,992;
Выборочная исправленная среднеквадратичная:
S=S2≈0,4518.
Выдвинем гипотезу H0 : распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону с параметрами a =60,992 и σ = 0,4518
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
