Изучается зависимость розничной продажи телевизоров от среднедушевых денежных доходов в месяц.
№ региона Среднедушевой денежный доход в месяц, тыс.
руб., x
Розничная продажа телевизоров, тыс. шт., y
1 28 28,0
2 24 21,3
3 21 21,0
4 26 23,3
5 17 15,8
6 25 21,9
7 24 20,0
8 26 22,0
9 28 23,9
10 26 26,0
11 26 24,6
12 25 21,0
13 29 27,0
Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
Рассчитайте параметры уравнений линейной и полулогарифмической парной регрессии.
Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Дайте с помощью общего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Оцените с помощью t-критерия Стьюдента статистическую надежность коэффициентов регрессии.
По линейной функции постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.
По линейной функции рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 3 процента от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α= 0,05.
Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение
Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле.
Рис. 1 Поле корреляции зависимости розничной продажи телевизоров от среднедушевого денежного дохода в месяц.
По виду расположения точек можно предположить, что имеется сильная положительная корреляционная зависимость.
Рассчитаем параметры уравнений линейной и полулогарифмической парной регрессии:
Таблица 1.
x y xy
x2 y2 e2
1 28 28 784 784 784 25,451 2,549 6,496
2 21,3 24 511,2 576 453,69 21,855 -0,555 0,308
3 21 21 441 441 441 19,157 1,843 3,396
4 23,3 26 605,8 676 542,89 23,653 -0,353 0,125
5 15,8 17 268,6 289 249,64 15,561 0,239 0,057
6 21,9 25 547,5 625 479,61 22,754 -0,854 0,729
7 20 24 480 576 400 21,855 -1,855 3,440
8 22 26 572 676 484 23,653 -1,653 2,732
9 23,9 28 669,2 784 571,21 25,451 -1,551 2,407
10 26 26 676 676 676 23,653 2,347 5,508
11 24,6 26 639,6 676 605,16 23,653 0,947 0,897
12 21 25 525 625 441 22,754 -1,754 3,076
13 27 29 783 841 729 26,351 0,649 0,422
Итого 295,8 325 7502,9 8245 6857,2 295,8 0,000 29,592
Среднее значение 22,753846 25 577,146 634,231 527,477
По данным таблицы находим:
, ,
, ,
..
Модель парной линейной регрессии имеет вид
,
где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, – случайные отклонения, 0 и 1 – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:
,
где b0 и b1 – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических была минимальной:
,
где – отклонения yi от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных (1.12) является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b0 и b1. В результате получаем систему нормальных уравнений:
Решая систему, найдем
,
.
По данным таблицы 1. находим
;
.
Получено уравнение регрессии:
.
Параметр b1 называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс.руб. розничная продажа телевизоров увеличивается в среднем на 0,90 тыс. шт.
Модель парной полулогарифмической регрессии имеет вид:
предшествует процедура линеаризации путем преобразования . В результате получается линейное уравнение регрессии:
.
Для расчетов используем данные таблицы 2.
Таблица 2.
y v=lnx
yv
v2 y2 A
1 28 3,332 93,30173 11,10359 784 25,188 2,812 10,043 7,908 5,924 27,522
2 21,3 3,178 67,69255 10,10003 453,69 22,107 -0,807 3,787 0,650 0,419 2,114
3 21 3,045 63,93497 9,269117 441 19,437 1,563 7,441 2,442 10,999 3,076
4 23,3 3,258 75,91365 10,61519 542,89 23,707 -0,407 1,745 0,165 0,908 0,298
5 15,8 2,833 44,76477 8,027098 249,64 15,214 0,586 3,712 0,344 56,857 48,356
6 21,9 3,219 70,49338 10,36116 479,61 22,923 -1,023 4,669 1,046 0,028 0,729
7 20 3,178 63,56108 10,10003 400 22,107 -2,107 10,533 4,437 0,419 7,584
8 22 3,258 71,67812 10,61519 484 23,707 -1,707 7,757 2,912 0,908 0,568
9 23,9 3,332 79,63969 11,10359 571,21 25,188 -1,288 5,388 1,659 5,924 1,314
10 26 3,258 84,71051 10,61519 676 23,707 2,293 8,821 5,260 0,908 10,538
11 24,6 3,258 80,14917 10,61519 605,16 23,707 0,893 3,632 0,798 0,908 3,408
12 21 3,219 67,59639 10,36116 441 22,923 -1,923 9,155 3,696 0,028 3,076
13 27 3,367 90,91699 11,33868 729 25,889 1,111 4,114 1,234 9,831 18,030
Итого 295,8 41,74 954,353 134,23 6857,2 295,8 0,00 80,797 32,55 94,061 126,6123
Среднее значение 22,75 3,21 73,41 10,33 527,48
s 3,12 0,135
s2 9,74 0,018
В соответствии с формулой вычисляем
, .
В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии:
.
3
. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации:
Коэффициент корреляции
Для линейной функции
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
,
Для нашей задачи r = 0,875, что указывает на высокую взаимосвязь между среднедушевым денежным доходом в месяц и розничной продажей телевизоров. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками.
Индекс корреляции:
для полулогарифмической регрессии
Величина индекса корреляции находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
для полулогарифмической регрессии:
Коэффициент детерминации
характеризует долю дисперсии результативного признака, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. По данным таблиц 2.3 и 2.4 получаем
для линейной регрессии ,
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 76,6% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного и на 23,4% — другими факторами, не включенными в модель.
для полулогарифмической регрессии .
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 74,3% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного и на 25,7% — другими факторами, не включенными в модель.
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
