Изучается зависимость результирующего показателя y от факторов и

Составим расчетную таблицу, число строк n = 14 это число наблюдений, m = 2 число объясняющих переменных (факторов).
В записи формул переменную у2 обозначим через у, а переменные x1 и x7 – через x1 и x2, так как условие задачи задано в терминах x1, x2.
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 62 0,23 1,91 14,26 118,42 0,4393 0,0529 3,6481 3844
2 53,1 0,43 1,68 22,83 89,208 0,7224 0,1849 2,8224 2819,61
3 56,5 0,26 1,89 14,69 106,79 0,4914 0,0676 3,5721 3192,25
4 30,1 0,43 1,02 12,94 30,702 0,4386 0,1849 1,0404 906,01
5 18,1 0,38 0,88 6,88 15,928 0,3344 0,1444 0,7744 327,61
6 13,6 0,42 0,62 5,71 8,432 0,2604 0,1764 0,3844 184,96
7 89,8 0,3 1,09 26,94 97,882 0,327 0,09 1,1881 8064,04
8 76,6 0,37 1,32 28,34 101,11 0,4884 0,1369 1,7424 5867,56
9 32,3 0,34 0,68 10,98 21,964 0,2312 0,1156 0,4624 1043,29
10 199 0,23 2,3 45,77 457,7 0,529 0,0529 5,29 39601
11 90,8 0,41 1,43 37,23 129,84 0,5863 0,1681 2,0449 8244,64
12 82,1 0,41 1,82 33,66 149,42 0,7462 0,1681 3,3124 6740,41
13 76,2 0,22 2,62 16,76 199,64 0,5764 0,0484 6,8644 5806,44
14 37,1 0,31 1,24 11,50 46,004 0,3844 0,0961 1,5376 1376,41
Сумма 917,3 4,74 20,5 288,50 1573 6,5554 1,6872 34,684 88018,23
Ср. знач. 65,52 0,34 1,46 20,61 112,36 0,47 0,12 2,48 6287,0

Найдем средние квадратические отклонения признаков:
44,654
0,077
0,577
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
-0,460
0,637
-0,622
Находим
-61,058
44,219
21,445
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
-0,105
0,572
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что фондоотдача оказывает большее влияние на индекс снижения себестоимости продукции, чем трудоемкость единицы продукции.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
-0,316
0,988
Т.е . увеличение только трудоемкости единицы продукции (от своего среднего значения) уменьшает в среднем индекс снижения себестоимости продукции на 0,316%, а увеличение только фондоотдачи на 1% увеличивает в среднем индекс снижения себестоимости продукции на 0,988%. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора х2, чем фактора х1.
2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
-0,460
0,637
-0,622
Они указывают на среднюю по тесноте связь каждого фактора с результатом, а также довольно высокую межфакторную зависимость (факторы и коллинеарны, т.к. 0,622 не намного меньше 0,7). При такой межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
-0,107
0,504
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 -0,460 0,637 =
-0,460 1 -0,622
0,637 -0,622 1
= 1 · 1 · 1 + 0,637 · (-0,460) · (-0,622) + (-0,460) · (-0,622) · 0,637 –
– 0,637 · 1 · 0,637 – (-0,460) · (-0,460) · 1 – 1 · (-0,622) · (-0,622) = 0,3606
r11 = 1 -0,622 = 1 – 0,6222 = 0,6137
-0,622 1
Коэффициент множественной корреляции
0,642.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 62 0,23 1,91 91,86 891,59
2 53,1 0,43 1,68 69,48 268,23
3 56,5 0,26 1,89 89,14 1065,59
4 30,1 0,43 1,02 40,29 103,90
5 18,1 0,38 0,88 37,16 363,11
6 13,6 0,42 0,62 23,22 92,47
7 89,8 0,3 1,09 51,33 1480,24
8 76,6 0,37 1,32 57,22 375,49
9 32,3 0,34 0,68 30,75 2,39
10 199 0,23 2,3 109,10 8081,14
11 90,8 0,41 1,43 59,64 970,69
12 82,1 0,41 1,82 76,89 27,15
13 76,2 0,22 2,62 123,87 2272,00
14 37,1 0,31 1,24 57,35 409,99
Сумма 917,3 4,74 20,5   16403,99
Ср