Из разных вагонов с углем, поступивших на тепловую электростанцию, в порядке случайной выборки взяли 100 проб. На основании их анализа получены следующие данные о содержании золы в угле:
Процент зольности угля (%). 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21 Итого
Число проб 6 20 50 14 10 100
а). Найти вероятность того, что отклонение среднего процента зольности угля во всей совокупности, состоящей из 500 вагонов, от среднего процента зольности угля в выборке не превышает 0,3% (по абсолютной величине).
б). Найти границы, в которых с вероятностью 0,9586 заключены доля вагонов во всей совокупности, зольность угля в которых более 17%.
в). Каким должен быть объем выборки, чтобы границы, найденные в пункте б) гарантировать с вероятностью 0,9946?
г). Используя χ2-критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – процент зольности угля, поступившего на тепловую электростанцию – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение
На основании приведенных данных определим средний процент зольности угля и среднее квадратическое отклонение.
Среднее значение:x=xififi, где xi – середина каждого интервала, fi – частота интервала.
Дисперсия: σx2=(xi-x)2⋅fifi
Среднеквадратическое отклонение: σ=σx2
Составим расчетную таблицу:
Процент зольности угля (%). Число проб, f Середина интервала, х xi*fi
(xi-xсреднее)^2*f
11-13 6 12 72 97,93
13-15 20 14 280 83,23
15-17 50 16 800 0,08
17-19 14 18 252 53,78
19-21 10 20 200 156,82
Итого 100 1604 391,84
x=1604100=16,04
Средняя зольность угля в выборке составляет 16,04%.
σx2=391,84100=3,92
σ=3,92=1,98
Объем выборки n=100
Объем генеральной совокупности N=500.
а) Найдем вероятность того, что отклонение среднего процента зольности угля во всей совокупности, состоящей из 500 вагонов, от среднего процента зольности угля в выборке не превышает 0,3% (по абсолютной величине).
Определим среднюю ошибку выборки для среднего, учитывая, что имел место случайный бесповторный отбор.
μxв=σ2вn1-nN
μxв=3,921001-100500=0,177
Формула предельной ошибки выборки для среднего:
Δxв=t⋅μxв
откуда
t=Δxвμxв
По условию предельная ошибка выборки составляет 0,3%, т.е
. Δxв=0,3%∙16,04=0,048
t=0,0480,177=0,27
Значению t=0,27 соответствует доверительная вероятность 0,2128.
Таким образом, вероятность того, что отклонение среднего процента зольности угля во всей совокупности, состоящей из 500 вагонов, от среднего процента зольности угля в выборке не превышает 0,3% (по абсолютной величине), равна 0,2128.
б) Определим долю вагонов в выборке, зольность угля в которых более 17%:
ω=14+10100=0,24
Найдем границы генеральной доли.
Определим среднюю ошибку выборки для доли, учитывая, что имел место бесповторный отбор.
μω=ω(1-ω)n1-nN
μω=0,24(1-0,24)1001-100500=0,04
Найдем предельную ошибку выборки для доли.
Δω=t⋅μω,
Для доверительной вероятности 0,9586 t=2,04.
Δω=2,04⋅0,04=0,08Найдем границы генеральной доли.
ω-Δω≤W≤ω+Δω
0,24-0,08≤W≤0,24+0,08
0,16≤W≤0,32С вероятностью 0,9586 доля вагонов во всей совокупности, зольность угля в которых более 17%, находится в границах (0,16; 0,32).
в) Найдем объем выборки, позволяющий гарантировать границы, найденные в пункте б), с вероятностью 0,9946 (т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
