Из партии содержащей 4000 деталей было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки 400 деталей

Определим среднее значение выборочной средней и дисперсию.
Составим расчетную таблицу.
Таблица.
Расчет выборочного среднего и дисперсии
Длина, мм
(xi) Среднее значение
(xi) Число
деталей
(ni)
xini
xi-X
(xi-X)2
(xi-X)2 ni
3,2-3,3 3,25 8 26,0 -0,23 0,0529 0,4232
3,3-3,4 3,35 32 107,2 -0,13 0,0169 0,5408
3,4-3,5 3,45 216 745,2 -0,03 0,0009 0,1944
3,5-3,6 3,55 120 426,0 0,07 0,0049 0,588
3,6-3,7 3,65 24 87,6 0,17 0,0289 0,6936
СУММА:
400 1392 – – 2,44
X=xinini
X=1392400=3,48 (шт.)-среднее число деталей.
σ2=(xi-X)2 nini
σ2=2,44400=0,0061
Определим среднюю ошибку выборки.
Среднюю ошибку бесповторной выборки определим по следующей формуле:
μ=σ2n1-nN
σ2=0,0061
n=400 – 10%-ая случайная бесповторная выборка.
N=4000 – общий объем совокупности.
Средняя ошибка выборки будет равна:
μ=0,0061400×1-4004000=0,000013725=0,0037
Предельная ошибка выборки с уровнем вероятности 0,9973.
∆=μ×tкр
tкр – критическая точка Стьюдента (табличное значение).
Поскольку по таблице значений функции Лапласа находим:
Фt=0,99732=0,4987
tкр=3,00.
∆=0,0037×3,00=0,01
То есть с вероятностью 0,9973 величина генеральной средней не более чем на ±0,01% будет отклоняться от выборочной средней.
Предельные значения генеральной средней.
X-∆<a<X+∆
3,48-0,01<a<3,48+0,01
3,47<a<3,49
ВЫВОД: с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Найдем вероятность того, что доля деталей во всей партии, длина которых составляет от 3,4 до 3,6 мм, отличается от доли таких деталей в выборке не более чем на 0,01 по абсолютной величине.
Для этого находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:
σw'=w(1-w)n1-nN -для бесповторной выборки
Здесь w – выборочная доля деталей, длина которых составляет от 3,4 до 3,6 мм.
w=216+120400=336400=0,84
σw'=0,841-0,84400×1-4004000=0,017
Вероятность того, что доля деталей во всей партии, длина которых составляет от 3,4 до 3,6 мм, отличается от доли таких деталей в выборке не более чем на 0,01 по абсолютной величине будет равна.
Pw-p≤0,01=2×Ф0,01σw'
Ф0,01σw'=Ф0,010,017=Ф0,59=0,2224
Pw-p≤0,01=2×0,2224=0,4448
ОТВЕТ: а) 3,47<a<3,49, б) Pw-p≤0,01=0,4448